La conjetura de Yamabe es un problema de geometría diferencial que se refiere a la existencia de métricas de Riemann con curvatura escalar constante , y toma su nombre del matemático Hidehiko Yamabe. A principios de 1960 Yamabe afirmó tener una solución, y murió a finales de ese mismo año. Pero Trudinger en 1968 descubrió un error crítico en la prueba. El trabajo combinado de Neil Trudinger, Thierry Aubin y Richard Schoen luego proporcionó una solución completa al problema en 1984. [1]
Enunciado
El problema de Yamabe es el siguiente: dada una variedad suave y compacta M de dimensión n ≥ 3 con una métrica riemanniana g, ¿existe una métrica g' conforme a g para la cual la curvatura escalar de g' es constante? En otras palabras, ¿existe una función suave f en M para la cual la métrica g' = e2fg tiene una curvatura escalar constante?
Una pregunta estrechamente relacionada es el llamado "problema de Yamabe no compacto", que pregunta: ¿Es cierto que en cada variedad de Riemann completa (M,g) que no es compacta, existe una métrica que es conforme a g , tiene una curvatura escalar constante y también está completa? La respuesta es no, debido a contraejemplos dados por Jin (1988) .
Lee, John Marshall; Parker, Thomas H. (1987), «The Yamabe problem», Bulletin of the American Mathematical Society17: 37-81, doi:10.1090/s0273-0979-1987-15514-5..
Trudinger, Neil S. (1968), «Remarks concerning the conformal deformation of Riemannian structures on compact manifolds», Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3)22: 265-274, MR 0240748.
Yamabe, Hidehiko (1960), «On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds», Osaka Journal of Mathematics12: 21-37, ISSN 0030-6126, MR 0125546.
Schoen, Richard (1984), «Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature», J. Differential Geom.20: 479-495..
Aubin, Thierry (1976), «Équations différentielles non linéaires et problème de Yamabe concernant la courbure scalaire», J. Math. Pures Appl., (9) 55: 269-296..
Jin, Zhiren (1988), «A counterexample to the Yamabe problem for complete noncompact manifolds», Lect. Notes Math.1306: 93-101., doi:10.1007/BFb0082927.
Datos:Q3406245
Agosto 11, 2021
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