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Ecuación en derivadas parciales

En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviada como EDP) es aquella ecuación diferencial cuyas incógnitas son funciones de diversas variables independientes, con la peculiaridad de que en dicha ecuación figuran no solo las propias funciones sino también sus derivadas. Tienen que existir funciones de por lo menos dos variables independientes.[1]​ O bien una ecuación que involucre una función matemática de varias variables independientes xyz, …, y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros. Se las conoce también como ecuaciones diferenciales parciales. Participaron, al inicio, en su estudio los franceses d'Alembert, Fourier, matemáticos de la época napoleónica.

Flexión elástica de una placa circular empotrada en su contorno bajo la acción de una carga vertical distribuida uniformemente, que es solución de la ecuación de Lagrange de placas; la solución mostrada fue obtenida numéricamente mediante Ansys.
Variación del perfil de temperaturas solución de la ecuación del calor en un problema bidimensional

Introducción

Una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) para la función   tiene la siguiente forma:

 

donde   es una función lineal de   y sus derivadas si:

 

Si   es una función lineal de   y sus derivadas, entonces la EDP es lineal. Ejemplos comunes de EDPs son la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de Laplace. Una ecuación diferencial en derivadas parciales simple puede ser:

 

donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial es:

 

donde f es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es

 

que tiene la siguiente solución

 

Donde c es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de tal forma que se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función f (y ) puede determinarse si u se especifica sobre la línea x = 0.

Notación y ejemplos

En las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando sub-índices (Notación tensorial). Esto es:

 

Especialmente en la física matemática, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como   para las derivadas espaciales y un punto ( ) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuación de onda (véase más abajo) como

  (notación matemática)
  (notación física)

Solución general y solución completa

Toda ecuación diferencial en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas, que frecuentemente pueden obtenerse por el método de separación de variables.

Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en la ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.

Existencia y unicidad

Si u(x) es una función con derivadas continuas en un conjunto U de Rn es solución única del problema de valor de frontera:

-∆u=f en U

u(x)=h(x) en la frontera de U.

Así mismo, se puede calcular la solución fundamental para la ecuación del calor en dimensión n.

Aunque el asunto de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias tiene una respuesta muy satisfactoria resumida en el teorema de Picard-Lindelöf, el mismo asunto para las ecuaciones en derivadas parciales está lejos de estar satisfactoriamente resuelto. Aunque existe un teorema general, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya, que afirma que para una EDP, que es analítica en la función incógnita y sus derivadas, tiene una única solución analítica. Aunque este resultado que parece establecer la existencia y unicidad de la soluciones, aparecen ejemplos de EDP de primer orden cuyos coeficientes tienen derivadas de cualquier orden (aunque sin ser analíticas) pero que no tienen solución.[2]​ Incluso si la solución de una EDP existe y es única, ésta puede tener propiedades indeseables.

Un ejemplo de comportamiento patológico es la secuencia de problemas de Cauchy dependientes del parámetro n para la ecuación de Laplace:

 

con condiciones iniciales

 

Donde n es un entero. La derivada de u con respecto a y se aproxima a 0 uniformemente en x a medida que n se incrementa, pero la solución es:

 

Esta solución se aproxima a infinito si nx no es un entero múltiplo de π para cualquier valor de y. El problema de Cauchy para la ecuación de Laplace se denomina mal propuesto o mal definido, puesto que la solución no depende continuamente de los datos del problema. Estos problemas mal definidos no son usualmente satisfactorios para las aplicaciones físicas.

Clasificación de las EDP de segundo orden

Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cinco tipos de EDP que son de interés fundamental; a continuación se dan ejemplos de estos cinco tipos:

Ecuación Nombre Tipo
  Laplace Elíptica
  Poisson Elíptica
  Onda Hiperbólica
  Difusión Parabólicas
  Helmholtz Elíptica

Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo:

(*) 

Con estos coeficientes se monta la siguiente matriz:

 

En función del determinante la ecuación (*):

  • se dice que es elíptica si la matriz Z tiene un determinante menor a 0.
  • se dice que es parabólica si la matriz Z tiene un determinante igual a 0.
  • se dice que es hiperbólica si la matriz Z tiene un determinante mayor a 0.

Nombres de objetos de la geometría analítica y se llaman cónicas.

EDP de orden superior

Si bien las EDP de segundo orden se aplican a una inmensa cantidad de fenómenos físicos; otra cantidad menor de procesos físicos hallan solución en EDP de órdenes superiores, como ejemplos podemos citar:

 

 

 

Véase también

Referencias

  1. Mijáilov: "Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales", Editorial Mir, Moscú
  2. Lewy, 1957.

Bibliografía

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Enlaces externos

  •   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Ecuación en derivadas parciales.
  •   Wikilibros alberga un libro o manual sobre Partial Differential Equations. (en inglés).
  • Partial Differential Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • Partial Differential Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • Partial Differential Equations: Methods at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • at exampleproblems.com
  • Weisstein, Eric W. «Partial Differential Equations». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  • NEQwiki, the nonlinear equations encyclopedia
  •   Datos: Q271977
  •   Multimedia: Partial differential equations

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En matematicas una ecuacion en derivadas parciales a veces abreviada como EDP es aquella ecuacion diferencial cuyas incognitas son funciones de diversas variables independientes con la peculiaridad de que en dicha ecuacion figuran no solo las propias funciones sino tambien sus derivadas Tienen que existir funciones de por lo menos dos variables independientes 1 O bien una ecuacion que involucre una funcion matematica u displaystyle u de varias variables independientes x y z y las derivadas parciales de u respecto de esas variables Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulacion matematica de procesos de la fisica y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo Problemas tipicos son la propagacion del sonido o del calor la electrostatica la electrodinamica la dinamica de fluidos la elasticidad la mecanica cuantica y muchos otros Se las conoce tambien como ecuaciones diferenciales parciales Participaron al inicio en su estudio los franceses d Alembert Fourier matematicos de la epoca napoleonica Flexion elastica de una placa circular empotrada en su contorno bajo la accion de una carga vertical distribuida uniformemente que es solucion de la ecuacion de Lagrange de placas la solucion mostrada fue obtenida numericamente mediante Ansys Variacion del perfil de temperaturas solucion de la ecuacion del calor en un problema bidimensional Indice 1 Introduccion 1 1 Notacion y ejemplos 1 2 Solucion general y solucion completa 1 3 Existencia y unicidad 2 Clasificacion de las EDP de segundo orden 3 EDP de orden superior 4 Vease tambien 5 Referencias 5 1 Bibliografia 6 Enlaces externosIntroduccion EditarUna ecuacion diferencial en derivadas parciales EDP para la funcion u x 1 x 2 x n displaystyle u x 1 x 2 ldots x n tiene la siguiente forma F x 1 x 2 x n u u x 1 u x 2 u x n 2 u x 1 x 1 2 u x 1 x 2 0 displaystyle F x 1 x 2 ldots x n u frac partial u partial x 1 frac partial u partial x 2 ldots frac partial u partial x n frac partial 2 u 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Donde c es cualquier valor constante independiente de x Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias Una solucion de una ecuacion en derivadas parciales generalmente no es unica de tal forma que se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solucion de forma unica Por ejemplo en el caso sencillo anterior la funcion f y puede determinarse si u se especifica sobre la linea x 0 Notacion y ejemplos Editar En las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales es muy comun denotar las derivadas parciales empleando sub indices Notacion tensorial Esto es u x u x u x y 2 u y x y u x displaystyle u x partial u over partial x qquad u xy partial 2 u over partial y partial x partial over partial y left partial u over partial x right Especialmente en la fisica matematica se suele preferir el operador nabla que en coordenadas cartesianas se escribe como x y z displaystyle nabla partial x partial y partial z para las derivadas espaciales y un punto u displaystyle dot u para las derivadas que involucran el tiempo por ejemplo para escribir la Ecuacion de onda vease mas abajo como u c 2 D u displaystyle ddot u c 2 Delta u notacion matematica u c 2 2 u displaystyle ddot u c 2 nabla 2 u notacion fisica Solucion general y solucion completa Editar Toda ecuacion diferencial en derivadas parciales de primer orden posee una solucion dependiente de una funcion arbitraria que se denomina usualmente solucion general de la EDP En muchas aplicaciones fisicas esta solucion general es menos importante que las llamadas soluciones completas que frecuentemente pueden obtenerse por el metodo de separacion de variables Una solucion completa es una solucion particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuacion Por ejemplo la integracion de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecanico mediante el metodo basado en la ecuacion de Hamilton Jacobi requiere una integral completa mientras que la solucion general resulta menos interesante desde el punto de vista fisico Existencia y unicidad Editar Si u x es una funcion con derivadas continuas en un conjunto U de Rn es solucion unica del problema de valor de frontera u f en Uu x h x en la frontera de U Asi mismo se puede calcular la solucion fundamental para la ecuacion del calor en dimension n Aunque el asunto de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias tiene una respuesta muy satisfactoria resumida en el teorema de Picard Lindelof el mismo asunto para las ecuaciones en derivadas parciales esta lejos de estar satisfactoriamente resuelto Aunque existe un teorema general el teorema de Cauchy Kovalevskaya que afirma que para una EDP que es analitica en la funcion incognita y sus derivadas tiene una unica solucion analitica Aunque este resultado que parece establecer la existencia y unicidad de la soluciones aparecen ejemplos de EDP de primer orden cuyos coeficientes tienen derivadas de cualquier orden aunque sin ser analiticas pero que no tienen solucion 2 Incluso si la solucion de una EDP existe y es unica esta puede tener propiedades indeseables Un ejemplo de comportamiento patologico es la secuencia de problemas de Cauchy dependientes del parametro n para la ecuacion de Laplace 2 u x 2 2 u y 2 0 displaystyle frac partial 2 u partial x 2 frac partial 2 u partial y 2 0 con condiciones iniciales u x 0 0 u y x 0 sin n x n displaystyle u x 0 0 qquad frac partial u partial y x 0 frac sin nx n Donde n es un entero La derivada de u con respecto a y se aproxima a 0 uniformemente en x a medida que n se incrementa pero la solucion es u x y sinh n y sin n x n 2 displaystyle u x y frac sinh ny sin nx n 2 Esta solucion se aproxima a infinito si nx no es un entero multiplo de p para cualquier valor de y El problema de Cauchy para la ecuacion de Laplace se denomina mal propuesto o mal definido puesto que la solucion no depende continuamente de los datos del problema Estos problemas mal definidos no son usualmente satisfactorios para las aplicaciones fisicas Clasificacion de las EDP de segundo orden EditarLas EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cinco tipos de EDP que son de interes fundamental a continuacion se dan ejemplos de estos cinco tipos Ecuacion Nombre Tipo 2 u 0 displaystyle nabla 2 u 0 Laplace Eliptica 2 u f displaystyle nabla 2 u f Poisson Eliptica 2 u t 2 c 2 2 u displaystyle frac partial 2 u partial t 2 c 2 nabla 2 u Onda Hiperbolica u t k 2 u displaystyle frac partial u partial t k nabla 2 u Difusion Parabolicas 2 u k u displaystyle nabla 2 u ku Helmholtz Eliptica Con mayor generalidad si se tiene una ecuacion de segundo orden del tipo A u x x 2 B u x y C u y y D u x E u y F 0 displaystyle Au xx 2Bu xy Cu yy Du x Eu y F 0 quad Con estos coeficientes se monta la siguiente matriz Z B A C B displaystyle Z begin bmatrix B amp A C amp B end bmatrix En funcion del determinante la ecuacion se dice que es eliptica si la matriz Z tiene un determinante menor a 0 se dice que es parabolica si la matriz Z tiene un determinante igual a 0 se dice que es hiperbolica si la matriz Z tiene un determinante mayor a 0 Nombres de objetos de la geometria analitica y se llaman conicas EDP de orden superior EditarSi bien las EDP de segundo orden se aplican a una inmensa cantidad de fenomenos fisicos otra cantidad menor de procesos fisicos hallan solucion en EDP de ordenes superiores como ejemplos podemos citar Flexion mecanica de una placa elastica 4 w x 4 2 4 w x 2 y 2 4 w y 4 q x y D displaystyle frac partial 4 w partial x 4 2 frac partial 4 w partial x 2 partial y 2 frac partial 4 w partial y 4 frac q x y D Vibracion flexional de una viga 2 x 2 E I 2 y x 2 r A 2 y t 2 p x t displaystyle frac partial 2 partial x 2 left EI frac partial 2 y partial x 2 right rho A frac partial 2 y partial t 2 p x t Ecuacion de Korteweg de Vries que tiene soluciones de tipo soliton v t v v x m 3 v x 3 0 displaystyle frac partial v partial t v frac partial v partial x mu frac partial 3 v partial x 3 0 Vease tambien EditarEcuacion hiperbolica en derivadas parciales Ecuacion parabolica en derivadas parciales Ecuacion eliptica en derivadas parciales Ecuacion en diferencias finitas Ecuacion diferencial estocasticaReferencias Editar Mijailov Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales Editorial Mir Moscu Lewy 1957 Bibliografia Editar Aranda Iriarte Jose Ignacio 2011 Apuntes de ecuaciones diferenciales II EDPs Universidad Complutense de Madrid Ireneo Peral Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales Departamento de Matematicas Universidad Autonoma de Madrid R Courant and D Hilbert Methods of Mathematical Physics vol II Wiley Interscience New York 1962 Evans Lawrence C 2010 Partial Differential Equations Graduate Studies in Mathematics en ingles 19 2ª edicion AMS ISBN 978 0 8218 4974 3 J Jost Partial Differential Equations Springer Verlag New York 2002 Hans Lewy 1957 An example of a smooth linear partial differential equation without solution Annals of Mathematics 2nd Series 66 1 155 158 I G Petrovskii Partial Differential Equations W B Saunders Co Philadelphia 1967 Y Pinchover and J Rubinstein An Introduction to Partial Differential Equations Cambridge University Press Cambridge 2005 ISBN 978 0 521 84886 2 A D Polyanin Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists Chapman amp Hall CRC Press Boca Raton 2002 ISBN 1 58488 299 9 A D Polyanin and V F Zaitsev Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations Chapman amp Hall CRC Press Boca Raton 2004 ISBN 1 58488 355 3 A D Polyanin V F Zaitsev and A Moussiaux Handbook of First Order Partial Differential Equations Taylor amp Francis London 2002 ISBN 0 415 27267 X T Roubicek Nonlinear Partial Differential Equations with Applications Birkhauser Basel 2nd Ed 2013 SBN 978 3 0348 0512 4 DOI 10 1007 978 3 0348 0513 1 Iorio Valeria EDP un curso de graduacion Instituto de matematicas y ciencia afines UNI Lima 1999 lIMA Duff Naylor Differential equations and applied mathematics John New York Wiley and Sons 1966 D Zwillinger Handbook of Differential Equations 3rd edition Academic Press Boston 1997 Enlaces externos Editar Wikimedia Commons alberga una categoria multimedia sobre Ecuacion en derivadas parciales Wikilibros alberga un libro o manual sobre Partial Differential Equations en ingles Partial Differential Equations Exact Solutions at EqWorld The World of Mathematical Equations Partial Differential Equations Index at EqWorld The World of Mathematical Equations Partial Differential Equations Methods at EqWorld The World of Mathematical Equations Example problems with solutions at exampleproblems com Weisstein Eric W Partial Differential Equations En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research 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