El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el (conjunto universal). Por ejemplo, si se habla de (números naturales), el complementario del conjunto de los (números primos) P es el conjunto de los números no primos C, que está formado por los (números compuestos) y el (1):
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A su vez, el conjunto P es el complementario de C. El conjunto complementario se denota por una barra horizontal o por el (superíndice) «∁», por lo que se tiene: P∁ = C, y también C = P.
El conjunto complementario de A es la (diferencia) (o complementario relativo) entre el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.
Definición
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Dado un conjunto A, su complementario es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A:
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Esta definición presupone que se ha especificado un (conjunto universal) U, pues de otro modo, en la afirmación «todos los x que no están en A», la palabra «todos» es ambigua. Si se menciona explícitamente el conjunto universal U, entonces el complementario de A es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A, por lo que la relación con la (diferencia) es clara:
Por otro lado, considerando un conjunto universal, la (diferencia entre dos conjuntos) puede expresarse utilizando la noción de complementariedad:
Ejemplo.
- El complementario del conjunto de todos los (hombres) es el conjunto de todas las (mujeres) (hablando de personas).
- Hablando de (números naturales), el complementario del conjunto {1, 5, 6, 7, 8, 10} es el conjunto {2, 3, 4, 9, 11, 12, ...}.
- El complementario del conjunto A en la imagen es la zona sombreada de azul (el conjunto universal U es toda el área del rectángulo).
Propiedades
Puesto que el (conjunto universal) contiene todos los elementos en consideración, y el (conjunto vacío) no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:
Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la (negación) en lógica, la primera posee propiedades similares a la segunda:
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En también unas relaciones entre las operaciones de (unión) e (intersección) a través del complemento:
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Relación Complementaria
Una Relación binaria R se define como un subconjunto de un (producto cartesiano) X × Y. La relación complementaria es el complemento del conjunto R en X × Y. El complemento de la relación R puede ser escrito como
Aquí, R es a menudo visto como una ( matriz lógica) con las filas representado los elementos de X, y las columnas los elementos de Y. La verdad de aRb corresponde a 1 en la fila a , columna b . Produciendo la relación complementaria de "R" que corresponde a cambiar todos los 1 a 0 y los 0 a 1 para la matriz lógica del complemento.
Junto con la y la (relación inversa) , las relaciones complementarias y el (álgebra de conjuntos) son la ( operación) elemental de la
Véase también
- (Álgebra de conjuntos)
- (Conjunto)
- (Teoría de conjuntos)
- (Diferencia de conjuntos)
- (Unión de conjuntos)
- (Diferencia simétrica)
Referencias
- Esta obra contiene una traducción parcial derivada de «Complementary relation» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.
- Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. (ISBN) .
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