Complejo simplicial

En la matemática, un complejo simplicial es un tipo particular de espacio topológico construido mediante el pegado de puntos, segmentos de línea, triángulos, tetraedros y demás análogos de dimensiones superiores. Este concepto no debe ser confundido con la noción abstracta de conjunto simplicial que surge en la moderna teoría simplicial homotópica

Un ejemplo de complejo simplicial. Este consiste en 17 puntos (0-simplejos), 22 aristas (1-simplejos), 8 triángulos (2-simplejos) y 1 tetraedro (3-simplejo).

Ejemplo

Sean ${\displaystyle p_{0},\ldots ,p_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$  con ${\displaystyle k\geq 1}$  que están en posición general, la clausura convexa del conjunto ${\displaystyle \{p_{0},\ldots ,p_{k}\}}$  se llama k-simplejo de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  y se denota ${\displaystyle \langle p_{0},\ldots ,p_{k}\rangle }$ . Se prueba sin dificultad que:

${\displaystyle \langle p_{0},\cdots ,p_{k}\rangle =\{a\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ a=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}p_{i}\}}$ 

con ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}=1}$  y ${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$  para todas las i.

Los ${\displaystyle \lambda _{i}\,}$  de la representación anterior se llaman coordenadas baricéntricas del punto ${\displaystyle a\,}$ . Si tomamos ${\displaystyle \{p_{i_{1}},\ldots ,p_{i_{r}}\}\subseteq \{p_{0},\ldots ,p_{k}\}}$ , se dice que el r-simplejo ${\displaystyle \langle p_{i_{1}},\cdots ,p_{i_{r}}\rangle }$  es una cara de ${\displaystyle \langle p_{0},\cdots ,p_{k}\rangle }$ .

Observe que un 0-simplejo es un punto, un 1-simplejo es un segmento, un 2-simplejo es un triángulo y un 3-simplejo es un tetraedro.

Caracterización

Un complejo simplicial (finito) es un conjunto finito de simplejos ${\displaystyle K\,}$  de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  que cumple las dos condiciones siguientes:

1. Si un simplejo pertenece a ${\displaystyle K\,}$ , entonces todas sus caras pertenecen a ${\displaystyle K\,}$ .
2. Si dos simplejos de ${\displaystyle K\,}$  se cortan, su intersección es una cara común.

Referencias

• Weisstein, Eric W. «Complejo simplicial». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Complejo simplicial», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .

•   Datos: Q994399
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