Chiliágono

En geometría, un chiliágono o kiliágono es un polígono de 1000 lados y 1000 vértices.

Chiliágono
Un chiliágono regular
Características
Tipo	Polígono regular
Lados	1000
Vértices	1000
Grupo de simetría	${\displaystyle D_{1000}}$, orden 2x1000
Símbolo de Schläfli	{1000}, t{500}, tt{250}, ttt{125} (chiliágono regular)
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Polígono dual	Autodual
Área	${\displaystyle A={\frac {1000}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{1000}}}$ (lado ${\displaystyle a}$)
Ángulo interior	176.94°
Propiedades
Convexo, isogonal, cíclico
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Propiedades

La medida de cada ángulo interior de un chiliágono regular es de 179.64°. El área de un chiliágono regular con sus lados de longitud a está dada por

${\displaystyle A=250a^{2}\cot {\frac {\pi }{1000}}\simeq 79577.2\,a^{2}}$ 

El resultado del área de su circunferencia circunscrita difiere por menos en un 0.0004%.

Dado que ${\displaystyle 1000=2^{3}\times 5^{3}}$ , no es un producto de primos distintos de Fermat y una potencia de dos, entonces el chiliágono regular no es un polígono construible.

Construcción filosófica

René Descartes usa el chiliágono como ejemplo en su Sexta meditación para demostrar la diferencia entre el intelecto puro y la imaginación. Descartes dijo que, cuando una persona imagina un chiliágono, "no imagina los miles de lados como si estuvieran presentes" ante ella -- como por el contrario hace cuando imagina un triángulo. La imaginación construye una "representación confusa," que no es distinta de la de un polígono de mil un lados o de novecientos lados. Sin embargo, el intelecto comprende claramente lo que es un chiliágono, y es capaz de distinguirlo de un polígono de mil un lados o de novecientos lados. Por tanto, concluye Descates, el intelecto no depende de la imaginación, y en consecuencia es posible entender ideas claras y distintas aun cuando la imaginación no pueda representarlas.^[1]​

Simetría

 

Las simetrías de un chiliágono regular. Las líneas de color azul claro muestran los subgrupos del índice 2. Las 4 subgrafías en caja están relacionadas posicionalmente por los subgrupos del índice 5

 

Un chiliágono regular no se distingue de un círculo. La línea de abajo es una sección de un chiliágono regular con los vértices marcados, aumentada 200 veces en relación con el círculo más pequeño (izquierda)

El chiliágono regular se corresponde con el grupo diedral Dih₁₀₀₀ de orden 2000, representado por 1000 líneas de reflexión. Dih₁₀₀ tiene 15 subgrupos diedros: Dih₅₀₀, Dih₂₅₀, Dih₁₂₅, Dih₂₀₀, Dih₁₀₀, Dih₅₀, Dih₂₅, Dih₄₀, Dih₂₀, Dih₁₀, Dih₅, Dih₈, Dih₄, Dih₂, y Dih₁. Por lo tanto, tiene 16 simetrías más cíclicas como subgrupos: Z₁₀₀₀, Z₅₀₀, Z₂₅₀, Z₁₂₅, Z₂₀₀, Z₁₀₀, Z₅₀, Z₂₅, Z₄₀, Z₂₀, Z₁₀, Z₅, Z₈, Z₄, Z₂, y Z₁, con Z_n representa pi/n simetrías rotacionales expresadas en radianes.

John Conway etiqueta estas simetrías inferiores con una letra y el orden de la simetría tras la letra.^[2]​ Denota como d (diagonal) las líneas de reflexión a través de vértices, p a las líneas de espejo a través de bordes (perpendicular), i a las líneas de espejo a través de vértices y bordes, y g para las simetrías rotacionales. a1 no etiqueta simetría alguna.

Estas simetrías inferiores permiten grados de libertad en la definición de chiliágonos irregulares. Solo el subgrupo g1000 no tiene grados de libertad, pero puede verse como un grafo dirigido.

Chiliagrama

Un chiliagrama es una estrella de 1000 lados. Hay 199 formas regulares^[3]​ dadas por símbolos de Schläfli de la forma {1000/n}, donde n es un número entero entre 2 y 500, coprimo con respecto a 1000. También hay 300 estrellas regulares en los casos restantes.

Por ejemplo, el polígono en forma de estrella regular {1000/499} está construido por 1000 lados casi radiales. Cada vértice de la estrella tiene un ángulo interior de 0,36 grados.^[4]​

{1000/499}

(Zona central ampliada, formando un patrón de Peñalver)

Véase también

• Miriágono
• Megágono
• Filosofía de la mente
• Filosofía del lenguaje

Referencias

1. Meditation VI by Descartes (English translation).
2. The Symmetries of Things, Chapter 20
3. 199 = 500 casos − 1 (convexo) − 100 (múltiplos de 5) − 250 (múltiplos de 2) + 50 (múltiplos de 2 y 5)
4. 0.36=180(1-2/(1000/499))=180(1-998/1000)=180(2/1000)=180/500

Enlaces externos

• Chiliágono

•   Datos: Q2339094

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