C*-álgebra

Las C^*-álgebras se estudian en análisis funcional y se utilizan en algunas formulaciones de la mecánica cuántica. Una C^*-álgebra es un álgebra de Banach sobre el cuerpo de los números complejos, junto con una función ^*: A → A llamada involución que tiene las propiedades siguientes:

• ${\displaystyle (x+y)_{}^{*}=x_{}^{*}+y_{}^{*}}$ para todo x, y en A

• ${\displaystyle (\lambda x)_{}^{*}={\bar {\lambda }}x_{}^{*}}$ para cada λ en C y cada x en A; aquí, λ^* significa la conjugación compleja de λ.

• ${\displaystyle (xy)_{}^{*}=y_{}^{*}x_{}^{*}}$ para todo x, y en 'A

• ${\displaystyle (x_{}^{*})_{}^{*}=x}$ para todo x en A

• la C* identidad:

${\displaystyle \|xx_{}^{*}\|=\|x\|_{}^{2}}$ para todo x en A.

Las álgebras C* son también * álgebras.

Si se omite la última propiedad, hablamos de una B^*-álgebra.

Por el teorema de Gelfand-Naimark, las C^*-álgebras son (módulo un isomorfismo) exactamente aquellas álgebras de operadores acotados en los espacios de Hilbert que son cerradas en la topología de la norma y bajo tomar adjuntos, con la función de involución dada por el tomar adjunto.

*-Homomorfismos e *-Isomorfismos

La función f: A → B entre B^*-álgebras A y B se llama un*-homomorfismo si

• f es C-lineal

• f(xy) = f(x)f(y) para x y y en A

• f(x^*) = f(x)^* para x en A.

Tal función f es automáticamente continua. Si f es biyectiva, entonces su inversa es también un *-homorfismo y f se llama un *-isomorfismo y A y B se dicen *-isomorfos. En ese caso, A y B son para todos los propósitos prácticamente iguales; se diferencian solamente en la notación de sus elementos. La estructura de una C^*-álgebra fuerza cualesquiera *-homomorfismos a ser contractivos; y un homomorfismo es inyectivo si y solamente si es isométrico.

Ejemplos de C^*-álgebras

El álgebra de n-por-n matrices sobre C se convierte en una C^*-álgebra si utilizamos la norma de la matriz ||.||₂ que surge como la norma de operador de la norma euclidiana en Cⁿ. La involución viene dada por la traspuesta conjugada. El ejemplo motivante de una C^*-álgebra es el álgebra de los operadores lineales continuos definidos en un espacio de Hilbert complejo H; aquí x^* denota el operador adjunto del operador x: H → H. De hecho, cada C^*-álgebra es *-isomorfa a una subálgebra cerrada de tal álgebra de operadores para un espacio de Hilbert H conveniente; éste es el contenido del teorema de Gelfand-Naimark.

Un ejemplo de una C^*-álgebra conmutativa es el álgebra C(X) de todas las funciones continuas complejo-valoradas definidas en un compacto de Hausdorff X. Aquí la norma de una función es el supremo de su valor absoluto, y la operación estrella es la conjugación compleja. Cada C^*-álgebra conmutativa con elemento unidad es *-isomorfa a una tal álgebra C(X) usando la representación de Gelfand.

Si uno parte de un espacio localmente compacto de Hausdorff X y considera las funciones continuas complejo-valoradas en X que se anulan en el infinito (definido en el artículo sobre la compacidad local), entonces éstas forman una C^*-álgebra conmutativa C₀(X); si X no es compacto, entonces C₀(X) no tiene elemento unidad. Una vez más la representación de Gelfand demuestra que cada C^*-álgebra conmutativa es *-isomorfa a una álgebra de la forma C₀(X).

Álgebras de von Neumann

Las álgebras de von Neumann, conocidas como W* álgebras antes de los años 60, son una clase especial de C* álgebras. Se les requiere ser cerradas en una topología que es más débil que la topología de la norma. Su estudio es una rama en sí misma de las matemáticas, aparte de las C^*-álgebras.

C^*-álgebras y la teoría cuántica de campos

En teoría cuántica de campos, se describe típicamente un conjunto físico con una C^*-álgebra A con elemento unidad; los elementos auto-adjuntos de A (elementos x con x^* = x) se interpretan como observables, las cantidades medibles, del sistema. Un estado del sistema se define como una funcional positiva en A, una función C-lineal φ: A → C con φ(u^*·u) > 0 para todo u ∈ A, tal que φ(1) = 1. El valor esperado del observable x, si el sistema está en el estado φ, es entonces φ(x).

Véase también

• Física local cuántica
• Álgebra
• Álgebra asociativa
• * álgebra
• B* álgebra

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