En teoría de anillos, rama del álgebra abstracta, un anillo cociente, anillo factor o anillo de residuos es el anillo que se obtiene sobre el conjunto de clases de equivalencia de un anillo respecto a una relación de equivalencia dada por donde I es cualquier ideal bilateral cuando las operaciones en el conjunto de clases de equivalencia son inducidas por las operaciones en el anillo original.
Es importante diferenciar el concepto de anillo cociente del de anillos de cocientes, obtenidos por un proceso de localización de un anillo.
Definición formal
Dado un anillo R y un ideal bilateral de R, I. Dado que la estructura aditiva de R es de grupo abeliano, el conjunto de clases laterales aditivas (con ) adquiere la estructura de grupo abeliano (bajo la operación grupo cociente) mediante la suma de clases laterales definida como:
.
Este grupo abeliano adquiere estructura de anillo si adicionalmente se define el producto de clases laterales como
.
Se establece que el producto está unívocamente determinado, no depende de la elección de los representantes de cada clase.[1]
A la estructura de anillo obtenida en mediante este proceso se le denomina anillo cociente de R entre I.[2]
Teoremas de isomorfismo
Sea es un homomorfismo de anillos cuyo kernel es el ideal y sea es un ideal contenido en . Denotando por al anillo de residuos entonces:
Existe un único homomorfismo tal que donde es la proyección canónica de en .
Si entonces es un anillo isomorfo a la imagen de .
Referencias
Álgebra Moderna, ediciones Schaumm
Artin, Michael (1991). «10. Rings». Algebra(en inglés). Upper Saddle, New Jersey: Prentice Hall. pp. 359-360. ISBN0130047635. Consultado el 30 de noviembre de 2012. (requiere registro).
anillo, cociente, teoría, anillos, rama, álgebra, abstracta, anillo, cociente, anillo, factor, anillo, residuos, anillo, obtiene, sobre, conjunto, clases, equivalencia, anillo, respecto, relación, equivalencia, displaystyle, dada, displaystyle, donde, cualquie. En teoria de anillos rama del algebra abstracta un anillo cociente anillo factor o anillo de residuos es el anillo que se obtiene sobre el conjunto de clases de equivalencia de un anillo respecto a una relacion de equivalencia a b displaystyle a sim b dada por a b I displaystyle a b in I donde I es cualquier ideal bilateral cuando las operaciones en el conjunto de clases de equivalencia son inducidas por las operaciones en el anillo original Es importante diferenciar el concepto de anillo cociente del de anillos de cocientes obtenidos por un proceso de localizacion de un anillo Indice 1 Definicion formal 2 Teoremas de isomorfismo 3 Referencias 4 Enlaces externosDefinicion formal EditarDado un anillo R y un ideal bilateral de R I Dado que la estructura aditiva de R es de grupo abeliano el conjunto R R I displaystyle bar R R I de clases laterales aditivas a I displaystyle a I con a R displaystyle a in R adquiere la estructura de grupo abeliano bajo la operacion grupo cociente mediante la suma de clases laterales definida como a I b I a b I displaystyle a I b I a b I Este grupo abeliano adquiere estructura de anillo si adicionalmente se define el producto de clases laterales como a I b I a b I displaystyle a I b I ab I Se establece que el producto esta univocamente determinado no depende de la eleccion de los representantes de cada clase 1 A la estructura de anillo obtenida en R I displaystyle R I mediante este proceso se le denomina anillo cociente de R entre I 2 Teoremas de isomorfismo EditarSea f R R displaystyle f R to R es un homomorfismo de anillos cuyo kernel es el ideal I displaystyle I y sea J displaystyle J es un ideal contenido en I displaystyle I Denotando por R displaystyle bar R al anillo de residuos R J displaystyle R J entonces Existe un unico homomorfismo f R R displaystyle bar f bar R to R tal que f p f displaystyle bar f pi f donde p displaystyle pi es la proyeccion canonica de R displaystyle R en R displaystyle bar R Si J I displaystyle J I entonces R displaystyle bar R es un anillo isomorfo a la imagen de f displaystyle f Referencias Editar Algebra Moderna ediciones Schaumm Artin Michael 1991 10 Rings Algebra en ingles Upper Saddle New Jersey Prentice Hall pp 359 360 ISBN 0130047635 Consultado el 30 de noviembre de 2012 requiere registro Enlaces externos EditarHazewinkel Michiel ed 2001 Quotient ring Encyclopaedia of Mathematics en ingles Springer ISBN 978 1556080104 Ideals and factor rings Archivado el 30 de junio de 2020 en Wayback Machine from John Beachy s Abstract Algebra Online Quotient ring en PlanetMath Datos Q619436 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Anillo cociente amp oldid 143533453, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
