Función Digamma en el plano complejo. El color de un punto codifica el valor de .Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono codifica el valor del argumento.
Utilizando fórmula del producto de Euler para la función gamma, junto con la ecuación funcional y una identidad para la constante de Euler-Mascheroni, obtenemos la siguiente expresión para la función digamma
o equivalentemente
La identidad anterior puede ser usada para evaluar sumas de la forma
donde y son polinomios de grado .
Empleando fracciones parciales en y en el caso en el que las raíces de son raíces simples,
para que la serie converja
en caso contrario la serie diverge. Dado que
y
Con las expansiones en series uno puede obtener
Serie de Taylor
La función digamma tiene una serie zeta racional, dada por la serie de Taylor en , esta es
Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972. See section §6.4
función, digamma, matemáticas, función, digamma, define, como, derivada, logarítmica, función, gamma, función, digamma, displaystyle, plano, complejo, color, punto, displaystyle, codifica, valor, displaystyle, colores, fuertes, denotan, valores, cercanos, cero. En matematicas la funcion digamma se define como la derivada logaritmica de la funcion gamma Funcion Digamma PS s displaystyle Psi s en el plano complejo El color de un punto s displaystyle s codifica el valor de PS s displaystyle Psi s Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono codifica el valor del argumento ps x d ln G x d x G x G x displaystyle psi x frac d ln Gamma x dx frac Gamma x Gamma x donde G displaystyle Gamma denota la funcion gamma La funcion digamma es la primera de las funciones poligamma La funcion digamma tambien suele denotarse por ps 0 x displaystyle psi 0 x ps 0 x displaystyle psi 0 x o como PS x displaystyle Psi x Indice 1 Relacion con los numeros armonicos 2 Representacion integral 3 Representacion como un producto 4 Series 5 Serie de Taylor 6 Serie de Newton 7 Formula de reflexion 8 Teorema digamma de Gauss 9 Vease tambien 10 ReferenciasRelacion con los numeros armonicos EditarLa funcion gamma satisface la ecuacion G x 1 x G x displaystyle Gamma x 1 x Gamma x derivando la expresion anterior respecto a z displaystyle z obtenemos d G x 1 d x d x G x d x x G x G x G x 1 x G x G x displaystyle begin aligned frac d Gamma x 1 dx amp frac d left x Gamma x right dx amp x Gamma x Gamma x Gamma x 1 amp x Gamma x Gamma x end aligned dividiendo ambos lados de la igualdad por G x 1 x G x displaystyle Gamma x 1 x Gamma x obtenemos G x 1 G x 1 x G x G x x G x G x G x 1 x displaystyle begin aligned frac Gamma x 1 Gamma x 1 amp frac x Gamma x Gamma x x Gamma x amp frac Gamma x Gamma x frac 1 x end aligned o ps x 1 ps x 1 x displaystyle psi x 1 psi x frac 1 x Dado que los numeros armonicos estan definidos para n Z displaystyle n in mathbb Z como H n k 1 n 1 k displaystyle H n sum k 1 n frac 1 k la funcion digamma se relaciona con ellos mediante ps n H n 1 g k 1 n 1 1 k g displaystyle begin aligned psi n amp H n 1 gamma amp sum k 1 n 1 frac 1 k gamma end aligned donde H 0 0 displaystyle H 0 0 y g displaystyle gamma es la constante de Euler Mascheroni Representacion integral EditarSi Re x gt 0 displaystyle operatorname Re x gt 0 entonces la funcion digamma tiene la siguiente representacion integral debida a Gauss ps x 0 e t t e x t 1 e t d t displaystyle psi x int 0 infty left frac e t t frac e xt 1 e t right dt combinando esta expresion con una integral que representa la constante de Euler Mascheroni g displaystyle gamma tenemos ps x 1 g 0 1 1 t x 1 t d t displaystyle psi x 1 gamma int 0 1 left frac 1 t x 1 t right dt esta integral es el numero armonico de Euler H x displaystyle H x por lo que la formula anterior puede ser escrita como g x 1 g 1 H x displaystyle gamma x 1 gamma 1 H x Una consecuencia es la siguiente relacion de recurrencia g w 1 g x 1 H w H x displaystyle gamma w 1 gamma x 1 H w H x Otra representacion integral debido a Dirichlet es la siguiente g x 0 1 t e t 1 1 t x d x displaystyle gamma x int 0 infty frac 1 t left e t frac 1 1 t x right dx Representacion como un producto EditarLa funcion ps x G x displaystyle psi x Gamma x es una funcion entera y puede ser representada por el producto infinito ps x G x e 2 g x k 0 1 x x k e x x k displaystyle frac psi x Gamma x e 2 gamma x prod k 0 infty left 1 frac x x k right e frac x x k donde x k displaystyle x k es el k displaystyle k esimo cero de ps displaystyle psi y g displaystyle gamma es la constante de Euler Mascheroni Series EditarUtilizando formula del producto de Euler para la funcion gamma junto con la ecuacion funcional y una identidad para la constante de Euler Mascheroni obtenemos la siguiente expresion para la funcion digamma ps x 1 g n 1 1 n 1 n x g n 1 x n n x displaystyle begin aligned psi x 1 amp gamma sum n 1 infty left frac 1 n frac 1 n x right amp gamma sum n 1 infty frac x n n x end aligned o equivalentemente ps x g n 0 1 n 1 1 n x g n 0 x 1 n 1 n x displaystyle begin aligned psi x amp gamma sum n 0 infty left frac 1 n 1 frac 1 n x right amp gamma sum n 0 infty frac x 1 n 1 n x end aligned La identidad anterior puede ser usada para evaluar sumas de la forma n 0 n 0 p n q n displaystyle sum n 0 infty sum n 0 infty frac p n q n donde p n displaystyle p n y q n displaystyle q n son polinomios de grado n displaystyle n Empleando fracciones parciales en u n displaystyle u n y en el caso en el que las raices de q n displaystyle q n son raices simples u n p n q n k 1 m a k n b k displaystyle u n frac p n q n sum k 1 m frac a k n b k para que la serie converja lim n n u n 0 displaystyle lim n to infty nu n 0 en caso contrario la serie diverge Dado que k 1 m a k 0 displaystyle sum k 1 m a k 0 y n 0 n 0 k 1 m a k n b k n 0 k 1 m a k 1 n b k 1 n 1 k 1 m a k n 0 1 n b k 1 n 1 k 1 m a k ps b k g k 1 m a k ps b k displaystyle begin aligned sum n 0 infty amp sum n 0 infty sum k 1 m frac a k n b k amp sum n 0 infty sum k 1 m a k left frac 1 n b k frac 1 n 1 right amp sum k 1 m left a k sum n 0 infty left frac 1 n b k frac 1 n 1 right right amp sum k 1 m a k psi b k gamma amp sum k 1 m a k psi b k end aligned Con las expansiones en series uno puede obtener n 0 u n n 0 k 1 m a k n b k r k k 1 m 1 r k r k 1 a k ps r k 1 b k displaystyle begin aligned sum n 0 infty u n amp sum n 0 infty sum k 1 m frac a k n b k r k amp sum k 1 m frac 1 r k r k 1 a k psi r k 1 b k end aligned Serie de Taylor EditarLa funcion digamma tiene una serie zeta racional dada por la serie de Taylor en x 1 displaystyle x 1 esta es ps x 1 g k 1 z k 1 x k displaystyle psi x 1 gamma sum k 1 infty zeta k 1 x k y converge para x lt 1 displaystyle x lt 1 donde z n displaystyle zeta n denota la funcion zeta de Riemann Serie de Newton EditarLa serie de Newton para la funcion digamma en ocasiones llamada como serie de Stern esta dada por ps s 1 g k 1 1 k k s k displaystyle psi s 1 gamma sum k 1 infty frac 1 k k binom s k donde s k textstyle binom s k es el coeficiente binomial La expresion anterior puede ser generalizada a ps s 1 g 1 m k 1 m 1 m k s k 1 m k 1 1 k k s m k 1 s k 1 displaystyle psi s 1 gamma frac 1 m sum k 1 m 1 frac m k s k frac 1 m sum k 1 infty frac 1 k k left binom s m k 1 binom s k 1 right donde m 2 3 4 displaystyle m 2 3 4 dots Formula de reflexion EditarLa funcion digamma satisface una formula de reflexion similar a la que se cumple para la funcion gamma ps 1 x ps x p cot p x displaystyle psi 1 x psi x pi cot pi x Teorema digamma de Gauss EditarPara r m Z displaystyle r m in mathbb Z con r lt m displaystyle r lt m la funcion digamma puede ser expresada en terminos de la constante de Euler Mascheroni y un numero finito de funciones elementales ps r m g ln 2 m p 2 cot r p m 2 n 1 m 1 2 cos 2 p n r m ln sen p n m displaystyle psi left frac r m right gamma ln 2m frac pi 2 cot left frac r pi m right 2 sum n 1 left lfloor frac m 1 2 right rfloor cos left frac 2 pi nr m right ln operatorname sen left frac pi n m right Vease tambien EditarFuncion gamma Funcion trigamma Funcion poligammaReferencias EditarAbramowitz M and Stegun I A Eds Psi Digamma Function 6 3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables 9th printing New York Dover pp 258 259 1972 See section 6 4 Weisstein Eric W Digamma function En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Datos Q905326 Multimedia Digamma functionObtenido de https es wikipedia org w index php title Funcion digamma amp oldid 134251291, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,