Vórtice de Taylor-Green

En dinámica de fluidos, el vórtice de Taylor-Green es un flujo inestable de un vórtice en descomposición, que tiene una solución de forma cerrada exacta de las ecuaciones de Navier-Stokes para flujos incompresibles en coordenadas cartesianas. Lleva el nombre del físico y matemático británico Geoffrey Ingram Taylor y su colaborador A. E. Green.^[1]​

Gráfica de los vectores velocidad en un vórtice de Taylor-Green

Trabajo original

En el trabajo original de Taylor y Green,^[1]​ se analiza un flujo particular en tres dimensiones espaciales, con los tres componentes de velocidad ${\displaystyle \mathbf {v} =(u,v,w)}$  en el momento ${\displaystyle t=0}$  especificado por

${\displaystyle u=A\cos ax\sin by\sin cz,}$ 

${\displaystyle v=B\sin ax\cos by\sin cz,}$ 

${\displaystyle w=C\sin ax\sin by\cos cz.}$ 

La ecuación de continuidad ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$  determina que ${\displaystyle Aa+Bb+Cc=0}$ . El pequeño comportamiento en el tiempo del flujo se encuentra a través de la simplificación de las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes utilizando el flujo inicial para dar una solución paso a paso a medida que avanza el tiempo.

Más adelantese se muestra una solución exacta en dos dimensiones.

Ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes

Las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes en ausencia de fuerzas de cuerpo, y en dos dimensiones espaciales, están dadas por

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0,}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right),}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right).}$ 

La primera de la ecuaciones anteriores representa la ecuación de continuidad y las otras dos representan las ecuaciones de momento.

Solución del vórtice de Taylor–Green

En el dominio ${\displaystyle 0\leq x,y\leq 2\pi }$ , la solución está dada por

${\displaystyle u=\cos x\sin y\,F(t),\qquad \qquad v=-\sin x\cos y\,F(t),}$ 

donde ${\displaystyle F(t)=e^{-2\nu t}}$ , ${\displaystyle \nu }$  es la viscosidad cinemática del fluido. Siguiendo el análisis de Taylor y Green^[1]​ para la situación bidimensional, y para ${\displaystyle A=a=b=1}$ , concuerda con la solución exacta, si el exponencial se expande como una serie de Taylor, es decir, ${\displaystyle F(t)=1-2\nu t+O(t^{2})}$ .

El campo de presión ${\displaystyle p}$  se puede obtener sustituyendo la solución de la velocidad en las ecuaciones de momento y viene dado por

${\displaystyle p=-{\frac {\rho }{4}}\left(\cos 2x+\cos 2y\right)F^{2}(t).}$ 

La función de corriente de la solución del vórtice de Taylor-Green, es decir, que satisface ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}}$  para la velocidad de flujo ${\displaystyle \mathbf {v} }$ , es

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=-\cos x\cos yF(t)\,{\hat {\mathbf {z} }}.}$ 

Del mismo modo, la vorticidad, que satisface ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {\omega } }}=\nabla \times \mathbf {v} }$ , está dado por

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {\omega } }}=-2\cos x\cos y\,F(t){\hat {\mathbf {z} }}.}$ 

La solución vortex Taylor-Green se puede usar para probar y validar la precisión temporal de los algoritmos de Navier-Stokes.^[2]​^[3]​

Referencias

1. Taylor, G. I. y Green, A. E., Mechanism of the Production of Small Eddies from Large Ones, Proc. R. Soc. Lond. A, 158, 499–521 (1937).
2. Chorin, A. J., Numerical solution of the Navier–Stokes equations, Math. Comp., 22, 745–762 (1968).
3. Kim, J. and Moin, P., Application of a fractional-step method to incompressible Navier–Stokes equations, J. Comput. Phys., 59, 308–323 (1985).

•   Datos: Q7690283