Vigésimo tercer problema de Hilbert

El vigésimo tercer problema de Hilbert (el último de los veintitrés Problemas de Hilbert, publicados en 1900 por el matemático alemán David Hilbert), en contraste con las otras 22 cuestiones, no es tanto un "problema" específico como un estímulo para lograr un mayor desarrollo del cálculo de variaciones. Su planteamiento del problema es un resumen del estado del arte (en 1900) de la teoría del cálculo de variaciones, con algunos comentarios introductorios denunciando la falta de trabajo teórico desde mediados del siglo XIX.

Declaración original

El enunciado del problema comienza con el siguiente párrafo:

Hasta ahora, generalmente he mencionado problemas lo más definidos y especiales posibles ... No obstante, me gustaría terminar con un problema general, a saber, con la indicación de una rama de las matemáticas mencionada repetidamente en esta conferencia, que, a pesar del considerable avance dado últimamente por Weierstrass, no recibe la apreciación general que, en mi opinión, debería recibir - me refiero al cálculo de variaciones.^[1]​

Cálculo de variaciones

Artículos principales: Artículo y Cálculo de variaciones.

El cálculo de variaciones es un campo del análisis matemático que se ocupa de maximizar o minimizar funcionales, que son aplicaciones de un conjunto de funciones sobre los números reales. Los funcionales a menudo se expresan como integrales que involucran funciones y sus derivadas. Su interés se centra en funciones extremas que hacen que lo funcional alcance un valor máximo o mínimo, o en funciones "estacionarias" (aquellas donde la tasa de cambio del funcional es cero).

Progreso

Después de la declaración del problema, David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Léon Lebesgue y Jacques Hadamard, entre otros, hicieron contribuciones significativas al cálculo de variaciones.^[2]​ Marston Morse aplicó el cálculo de variaciones en lo que ahora se llama teoría de Morse.^[3]​ Lev Pontriaguin, Ralph Rockafellar y F. H. Clarke desarrollaron nuevas herramientas matemáticas para el cálculo de variaciones en el campo del control óptimo.^[3]​ La programación dinámica de Richard Bellman es una alternativa al cálculo de variaciones.^[4]​^[5]​^[6]​

Referencias

1. Hilbert, David, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten, (1900), págs. 253-297, y en Archiv der Mathematik und Physik, (3) 1 (1901), 44-63 y 213-237. Publicado en traducción al inglés por la Dra. Maby Winton Newson, Bulletin of the American Mathematical Society 8 (1902), 437-479 [1] [2] doi 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 . [Un título más completo de la revista Göttinger Nachrichten es Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.]
2. van Brunt, Bruce (2004). The Calculus of Variations. Springer. ISBN 0-387-40247-0. 
3. Ferguson, James (2004). «Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications». arXiv:math/0402357. 
4. Dimitri P Bertsekas. Dynamic programming and optimal control. Athena Scientific, 2005.
5. Bellman, Richard E. (1954). «Dynamic Programming and a new formalism in the calculus of variations». Proc. Natl. Acad. Sci. 40 (4): 231-235. Bibcode:1954PNAS...40..231B. PMC 527981. PMID 16589462. doi:10.1073/pnas.40.4.231. 
6. Kushner, Harold J. (2004). . American Automatic Control Council. Archivado desde el original el 1 de octubre de 2018. Consultado el 28 de julio de 2013.  See 2004: Harold J. Kushner: regarding Dynamic Programming, "The calculus of variations had related ideas (e.g., the work of Caratheodory, the Hamilton-Jacobi equation). This led to conflicts with the calculus of variations community."

Lecturas relacionadas

• Stampacchia, Guido (1976). «Hilbert's Twenty-Third Problem: Extension of the Calculus of Variations». En Felix E. Browder, ed. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. American Mathematical Society. XXVIII.2. American Mathematical Society. pp. 611-628. ISBN 0-8218-1428-1. 

•   Datos: Q5761180