Continuidad uniforme

En análisis matemático una función ${\displaystyle f}$ se dice que es uniformemente continua si pequeños cambios en el valor de ${\displaystyle x}$ producen pequeños cambios en el valor de la función (continuidad) y el tamaño de los cambios de ${\displaystyle f(x)}$ depende solo del tamaño de los cambios en x pero no del valor de x (uniforme).

Definición

Dados dos espacios métricos ${\displaystyle (X,d_{X})}$  y ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ , y ${\displaystyle M\subseteq X}$  entonces una función ${\displaystyle f:M\to Y}$  se llama uniformemente continua en M si para cualquier número real ${\displaystyle \epsilon >0}$  existe ${\displaystyle \delta >0}$  tal que ${\displaystyle d_{X}(x_{1},x_{2})<\delta }$ , implica que ${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\epsilon }$  para todo ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in M}$ .

Una función ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  es uniformemente continua en un intervalo ${\displaystyle \ A}$  si para todo ${\displaystyle \epsilon >0}$  existe algún ${\displaystyle \delta >0}$  tal que para todo ${\displaystyle x,y\in A}$  se cumple que si ${\displaystyle |x-y|<\delta }$ , entonces ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon }$ .^[1]​

A diferencia de la continuidad, donde el valor de ${\displaystyle \delta }$  depende del punto x, en las funciones uniformemente continuas no depende de dicho valor.

Ejemplos

• La función 1/x con x>0 es continua pero no uniformemente continua
• La función x es uniformemente continua en el intervalo [0,1].
• Todo polinomio ${\displaystyle p:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }$  cuyo grado sea mayor o igual que uno es uniformemente continuo en un intervalo cerrado.

Resultados

• De la definición se deduce que toda función uniformemente continua es continua. Lo contrario (toda función continua es uniformemente continua) no siempre es cierto. Ejemplo: Si ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$  y ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ . ${\displaystyle f(x)}$  es continua y no es uniformemente continua. Sin embargo, se verifica que:

Si M es un espacio métrico compacto e Y un espacio métrico, entonces toda función continua f : M → Y es uniformemente continua. En particular, toda función continua sobre un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua en dicho intervalo (Teorema de Heine-Cantor).

• Si (x_n) es una sucesión de Cauchy contenida en el dominio de f (no necesariamente convergente) y f es una función uniformemente continua, entonces (f(x_n)) también es una sucesión de Cauchy.
• Toda función Lipschitz continua es uniformemente continua.

Notas y referencias

1. Spivak, Michael (1992). Cálculo infinitesimal (2 edición). Reverté. ISBN 968-6708-18-9.  |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)

•   Datos: Q741865
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