Triángulo extratangente

En geometría, el triángulo extratangente de un triángulo se forma al unir los puntos en los que las tres circunferencias exinscritas son tangentes al triángulo.

El triángulo extratangente (△T_A T_B T_C, en color rojo) y el punto de Nagel (N, en azul) de un triángulo (△ABC, en color negro). Los círculos anaranjados son las circunferencias exinscritas del triángulo.

Coordenadas

Los vértices del triángulo extratangentes se dan en coordenadas trilineales por:

${\displaystyle T_{A}=0:\csc ^{2}{\left(B/2\right)}:\csc ^{2}{\left(C/2\right)}}$ 

${\displaystyle T_{B}=\csc ^{2}{\left(A/2\right)}:0:\csc ^{2}{\left(C/2\right)}}$ 

${\displaystyle T_{C}=\csc ^{2}{\left(A/2\right)}:\csc ^{2}{\left(B/2\right)}:0}$ 

o equivalentemente, siendo a, b, c las longitudes de los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente,

${\displaystyle T_{A}=0:{\frac {a-b+c}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}}$ 

${\displaystyle T_{B}={\frac {-a+b+c}{a}}:0:{\frac {a+b-c}{c}}}$ 

${\displaystyle T_{C}={\frac {-a+b+c}{a}}:{\frac {a-b+c}{b}}:0.}$ 

Figuras relacionadas

Las divisorias del triángulo son rectas que conectan los vértices del triángulo original con los vértices correspondientes del triángulo extratangente; que bisecan el perímetro del triángulo y se encuentran en el punto de Nagel. Este punto figura en color azul y está marcado como "N" en el diagrama.

La inelipse de Mandart es tangente a los lados del triángulo de referencia en los tres vértices del triángulo extratangente.^[1]​

Área

El área del triángulo extratangente,${\displaystyle K_{T}}$ , viene dada por:

${\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}$ 

donde ${\displaystyle K}$ , ${\displaystyle r}$  y ${\displaystyle s}$  son el área, el radio de la circunferencia exinscrita y el semiperímetro del triángulo original, y ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , y ${\displaystyle c}$  son las longitudes de los lados del triángulo original.

Es la misma área que la del triángulo de las tangentes del incentro.^[2]​

Referencias

1. Juhász, Imre (2012), «Control point based representation of inellipses of triangles», Annales Mathematicae et Informaticae 40: 37-46, MR 3005114 ..
2. Weisstein, Eric W. "Extouch Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ExtouchTriangle.html

•   Datos: Q5422106