Trisectriz de Deslanges

La trisectriz de Deslanges (también escrito en ocasiones Delanges) es una curva que pertenece a la familia de las sectrices de Deslanges, que deben su nombre al ingeniero y matemático italiano Paolo Deslanges (c 1750-1810), quien las estudió en 1783.^[1]​ Como otras curvas trisectrices, puede utilizarse como medio auxiliar para efectuar la trisección de un ángulo con regla y compás, si bien el uso de medios auxiliares es un procedimiento que queda fuera de los métodos admisibles por la geometría clásica.

Trisectriz de Deslanges

Definición geométrica

 

Construcción de la trisectriz de Deslanges

La construcción geométrica de la trisectriz de Deslanges se basa en una circunferencia de centro O, de forma que los puntos de la trisectriz son el lugar geométrico determinado por la intersección de dos familias de rectas:

• Rectas radiales desde el origen, con un ángulo ${\displaystyle 2\alpha }$  con respecto al eje X.
• Rectas horizontales trazadas desde los puntos de intersección de semirrectas (con un ángulo ${\displaystyle \alpha }$  con respecto al eje X) y la circunferencia de centro O.

De acuerdo con la imagen adjunta,^[1]​ para determinar un punto P, se trazan los dos radios OP₁ (con ángulo ${\displaystyle \alpha }$ ) y OP₂ (con ángulo ${\displaystyle 2\alpha }$ ), y desde el punto P₁ (intersección del primer radio y la circunferencia) se traza una recta paralela al eje X, que se interseca con la semirrecta OP₂ en el punto P.

Ecuaciones

De acuerdo con la definición geométrica, se tiene que la ecuación polar toma la forma:

${\displaystyle \rho ={\frac {a}{\cos(\theta /2)}}}$ 

Una forma equivalente de la ecuación en coordenadas polares, se vale de la función secante para compactar la expresión:^[2]​ ${\displaystyle \rho =\sec(({{\theta -\sigma })/2)}}$  (siendo ${\displaystyle \sigma }$  un parámetro para orientar la curva respecto al origen de los ángulos).

En coordenadas cartesianas, la ecuación de la trisectriz toma la forma:^[1]​

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-2a^{2})^{2}=x^{2}(x^{2}+y^{2})}$ 

Propiedades

La trisectriz de Deslanges y el folium de Durero son curvas inversas entre sí con respecto a cualquier circunferencia que tenga su centro en el centro de simetría de ambas curvas.

Trisección

 

Construcción de la trisección de un ángulo arbitrario

Para determinar la trisección de un ángulo arbitrario, se puede utilizar la construcción siguiente:

• Trazar la circunferencia interior a la trisectriz, con centro en O y radio a.
• Prolongar el radio representado con el ángulo arbitrario ${\displaystyle \alpha }$  hasta cortar la trisectriz, para hallar el punto P₁.
• Desde P₁, lanzar la tangente a la circunferencia, para hallar el punto P₂.
• El ángulo P₁OP₂ mide ${\displaystyle \alpha /3}$ , siendo el ángulo buscado.

Sectrices de Deslanges

Cuando se generaliza la fórmula de trisectriz para un valor ${\displaystyle n}$  distinto de 2, se obtiene la siguiente expresión:^[1]​

${\displaystyle \rho ={\frac {a}{\cos(\theta /n)}}}$ 

a partir de la que se pueden generar sectrices de Deslanges de orden ${\displaystyle n+1}$  (para ${\displaystyle n}$  entero).

Imágenes

Sectrices de Deslanges

La trisectriz de Deslanges y su inversa, el folium de Durero

Véase también

• Espiral de Cotes
• Epiespiral

Referencias

1. «DELANGES TRISECTRIX AND SECTRIX». mathcurve (en inglés). Consultado el 17 de marzo de 2021. 
2. Daniel J. Velleman, S. Wagon (2020). Bicycle or Unicycle?: A Collection of Intriguing Mathematical Puzzles. American Mathematical Soc. pp. 86 de 286. ISBN 9781470447595. Consultado el 17 de marzo de 2021. 

Enlaces externos

•   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Trisectriz de Deslanges.
• «DELANGES TRISECTRIX AND SECTRIX». mathcurve (en inglés). Consultado el 17 de marzo de 2021. 

•   Datos: Q106015299
•   Multimedia: Trisectrix of Delanges