Un elemento m de un móduloM sobre un anilloR es llamado un elemento de torsión del módulo si existe un elemento regularr del anillo que anula m, es decir rm = 0. En el caso especial en que R es un domino entero (es decir un anillo conmutativo sin divisores de cero), todo elemento distinto de cero es regular, entonces un elemento de torsión de un módulo M sobre un dominio entero R es aquel que es eliminado por un elemento distinto de cero en el anillo.
Un R-módulo M es llamado módulo de torsión si todos sus elementos son elementos de torsión. Por otro lado, M es llamado módulo libre de torsión si cero es el único elemento de torsión. Si el anillo R es un dominio entero entonces el conjunto de todos los elementos de torsión forma un submódulo de M llamado el submódulo de torsión de M, a veces se denota T(M). Si R no es conmutativo, T(M) puede no ser un submódulo. En (Lam, 2007) se demuestra que R es un Anillo de Ore derecho si y solamente si T(M) es un submódulo de M para todos los R-módulos derechos. Como los dominios noetherianos derechos son anillos de Ore, esto cubre el caso cuando R es un dominio noetheriano derecho (que podría ser no conmutativo).
Más generalmente, sea M un R-módulo y S un magma multiplicativo de R. Un elemento m de M es llamado un elemento de S-torsion si existe un elemento s en S tal que s anula m, es decir sm = 0. En especial uno puede tomar S como el set de los elementos regulares del anillo R y recobrar la definición anterior.
Un elemento g de un grupo G es llamado un elemento de torsi̟ón del grupo si tiene orden finito, es decir si existe un entero positivo m tal que gm = e, donde e denota la identidad en el grupo, y gm denota el producto de m copias de g. Un grupo es llamado grupo de torsión si todos sus elementos son elementos de torsión, y es llamado grupo libre de torsión si su único elemento de torsión es la identidad. Todo grupo abeliano puede ser visto como un Z-módulo, y en este caso las dos nociones de torsión coinciden.
Referencias
Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", Birkhauser 1985, ISBN0-8176-3065-1
Irving Kaplansky, "Infinite abelian groups", University of Michigan, 1954.
Lam, T. Y. (2007), Exercises in modules and rings, Problem Books in Mathematics, New York: Springer, pp. xviii+412, ISBN978-0-387-98850-4, MR 2278849, doi:10.1007/978-0-387-48899-8.
Datos:Q382874
Agosto 10, 2021
torsión, álgebra, álgebra, abstracta, término, torsión, refiere, elementos, orden, finito, grupo, elementos, módulos, anulados, elementos, regulares, anillo, definición, editarun, elemento, módulo, sobre, anillo, llamado, elemento, torsión, módulo, existe, ele. En algebra abstracta el termino torsion se refiere a los elementos de orden finito de un grupo y a los elementos de modulos anulados por elementos regulares de un anillo Definicion EditarUn elemento m de un modulo M sobre un anillo R es llamado un elemento de torsion del modulo si existe un elemento regular r del anillo que anula m es decir r m 0 En el caso especial en que R es un domino entero es decir un anillo conmutativo sin divisores de cero todo elemento distinto de cero es regular entonces un elemento de torsion de un modulo M sobre un dominio entero R es aquel que es eliminado por un elemento distinto de cero en el anillo Un R modulo M es llamado modulo de torsion si todos sus elementos son elementos de torsion Por otro lado M es llamado modulo libre de torsion si cero es el unico elemento de torsion Si el anillo R es un dominio entero entonces el conjunto de todos los elementos de torsion forma un submodulo de M llamado el submodulo de torsion de M a veces se denota T M Si R no es conmutativo T M puede no ser un submodulo En Lam 2007 se demuestra que R es un Anillo de Ore derecho si y solamente si T M es un submodulo de M para todos los R modulos derechos Como los dominios noetherianos derechos son anillos de Ore esto cubre el caso cuando R es un dominio noetheriano derecho que podria ser no conmutativo Mas generalmente sea M un R modulo y S un magma multiplicativo de R Un elemento m de M es llamado un elemento de S torsion si existe un elemento s en S tal que s anula m es decir s m 0 En especial uno puede tomar S como el set de los elementos regulares del anillo R y recobrar la definicion anterior Un elemento g de un grupo G es llamado un elemento de torsi on del grupo si tiene orden finito es decir si existe un entero positivo m tal que gm e donde e denota la identidad en el grupo y gm denota el producto de m copias de g Un grupo es llamado grupo de torsion si todos sus elementos son elementos de torsion y es llamado grupo libre de torsion si su unico elemento de torsion es la identidad Todo grupo abeliano puede ser visto como un Z modulo y en este caso las dos nociones de torsion coinciden Referencias EditarErnst Kunz Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry Birkhauser 1985 ISBN 0 8176 3065 1 Irving Kaplansky Infinite abelian groups University of Michigan 1954 Michiel Hazewinkel 2001 Torsion submodule en Hazewinkel Michiel ed Encyclopaedia of Mathematics en ingles Springer ISBN 978 1556080104 Lam T Y 2007 Exercises in modules and rings Problem Books in Mathematics New York Springer pp xviii 412 ISBN 978 0 387 98850 4 MR 2278849 doi 10 1007 978 0 387 48899 8 Datos Q382874Obtenido de https es wikipedia org w index php title Torsion algebra amp oldid 120756786, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
