En mecánica clásica, el teorema del virial es una ecuación general que relaciona la energía cinética total promedio de un sistema con su energía potencial promedio , donde los paréntesis angulares representan el promedio temporal de la magnitud contenida entre ellos. Matemáticamente, el teorema del virial establece que:
Donde Fk representa la fuerza sobre la partícula k-ésima, que está ubicada en la posición rk.
Aplicaciones
El teorema del virial permite calcular la energía cinética total promedio aún para sistemas muy complejos en los que es muy difícil obtener una solución exacta, tales como los relacionados en mecánica estadística; esta energía cinética total promedio se relaciona con la temperatura del sistema a través del teorema de equipartición. Un ejemplo de sus muchas aplicaciones es el uso del teorema del virial para calcular el límite de Chandrasekhar para la estabilidad de las estrellasenanas blancas. La palabra "virial" tiene su origen en vis, la palabra en Latín para "fuerza" o "energía", y Clausius en 1870 le dio su acepción técnica.[1]
Si la fuerza entre dos partículas cualesquiera del sistema es producida por una energía potencialV(r)=αr n que es proporcional a alguna potencia n de la distancia entre las partículas r, el teorema del virial adopta la forma:
En Termodinámica, el teorema del virial nos permite escribir un modelo que se aproxime a un gas real, que se encuentre en la Naturaleza. Para ello, se usa un desarrollo en potencias de 1/v, y se obtiene (en magnitudes molares):
Donde B(T), C(T), ..., son el segundo coeficiente del virial, tercer coeficiente del virial respectivamente. A este desarrollo también se le conoce con el nombre de desarrollo de Kammerlingh Onnes. Como ejemplo, el gas de van der Waals puede escribirse usando el desarrollo de Kammerlingh Onnes como (de nuevo, en magnitudes molares):
Por lo tanto, dos veces la energía cinética total es igual a n veces la energía potencial total promedio . Donde V(r) representa la energía potencial entre dos partículas, VTOT representa la energía potencial total del sistema, o sea la suma de la energía potencial V(r) sobre todos los pares de partículas en el sistema. Un ejemplo común de este sistema es una estrella que se existe gracias a su propia fuerza de gravedad, donde n es -1.
Aunque el teorema del virial depende de promediar la energía cinética total y la energía potencial total, esta presentación deja para un paso próximo el promediar.
Definiciones del virial y su derivada temporal
Para un grupo de partículas puntuales, el momento de inercia escalar I con respecto al origen queda definido por la ecuación
donde mk y rk representan la masa y la posición de la partícula késima. El virial escalar G queda definido por la ecuación
donde pk es el vector momento de la partícula késima. Suponiendo que las masas son constantes, el virialG es la derivada temporal de este momento de inercia
A su vez, la derivada temporal del virial G es
o, en forma más simple,
Aquí es la masa de la partícula , es la fuerza neta sobre la partícula y es la energía cinética total del sistema
Conexión con la energía potencial entre partículas
La fuerza total sobre la partícula es la suma de todas las fuerzas que ejercen todas las otras partículas en el sistema
donde es la fuerza aplicada por la partícula sobre la partícula . Por lo tanto, el término de fuerza de la derivada temporal del virial resulta ser
Dado que ninguna partícula actúa sobre sí misma (o sea, siempre que ), se tiene
A menudo sucede que las fuerzas son producto de una energía potencial que es solo función de la distancia entre las partículas y . Dado que la fuerza es el gradiente de la energía potencial, entonces resulta que
lo cual es igual y opuesto a , la fuerza aplicada por la partícula sobre la partícula , lo que se puede confirmar mediante un cálculo explícito. Por lo tanto, el término fuerza de la derivada temporal del virial es
Por lo tanto, se tiene
Caso especial de fuerzas dependientes de potencias
Un caso especial común, es aquel en el cual la energía potencial entre dos partículas es proporcional a una potencia n de la distancia que las separa r
donde el coeficiente α y el exponente n son constantes. En estos casos, el término de fuerza de la derivada temporal del virial se expresa por la ecuación
donde es la energía potencial total del sistema
Por lo tanto, se tiene
Para sistemas gravitatorios y para sistemas electrostáticos, el exponente n es -1, resultando la identidad de Lagrange
lo cual fue descubierto por Lagrange y posteriormente extendido por Jacobi.
Promedio temporal y el teorema del virial
El promedio de esta derivada en un lapso de tiempo se define como
de donde se obtiene la siguiente ecuación exacta
El teorema del virial afirma que, si, entonces
Existen numerosas razones por las cuales el promedio de la derivada temporal se puede anular, o sea . Una razón que se menciona se aplica a sistemas constreñidos, o sea sistemas que se encuentran limitados a permanecer juntos por siempre. En este caso, el virial por lo general queda acotado entre dos extremos, y , y el promedio tiende a cero en el límite de tiempos muy largos
Aun si el promedio de la derivada temporal es aproximadamente cero, el teorema del virial vale con el mismo grado de aproximación.
Para fuerzas que obedecen a una ley de potencia con un exponente n, la ecuación general establece que
Para el caso de atracción gravitatoria, n es igual a -1 y la energía cinética promedio es igual a un medio de la energía potencial promedio negativa
Este resultado es útil para sistemas gravitatorios complejos tales como sistemas solares o galaxias.
No es preciso que el promedio sea en el tiempo; se puede realizar un promedio de colectivo, con resultados equivalentes.
Si bien ha sido desarrollado para la mecánica clásica, el teorema del virial es también válido en el ámbito de la mecánica cuántica.
Extensiones del teorema del virial
En 1903 Lord Rayleigh publicó una generalización del teorema del virial.[2] Henri Poincaré utilizó una forma del teorema del virial en 1911 para el problema de determinar la estabilidad cosmológica.[3] En 1945 Ledoux desarrolló una forma variacional del teorema del virial.[4] Parker[5] Chandrasekhar[6] y Fermi[7] a su vez desarrollaron formas tensoriales del teorema del virial,
Inclusión de campos electromagnéticos
Es posible extender el teorema del virial para incluir campos eléctricos y magnéticos. El resultado es[8]
donde I es el momento de inercia, G es la densidad de momento del campo electromagnético, T es la energía cinética del "fluido", U es la energía "térmica" aleatoria de las partículas, WE y WM son la energía eléctrica y magnética contenidas en el volumen bajo consideración. Finalmente, pik es el tensor de presión del fluido expresdo en el sistema de coordenadas móvil local
,
y Tik es el tensor electromagnético de tensiones,
Demostración
Empleando el formalismo lagrangiano definimos la siguiente magnitud:
Siendo las coordenadas generalizadas y
los momentos generalizados.
A continuación calculamos
Suponiendo que en el sistema dado, las coordenadas y momentos generalizados están acotados, concluimos que:
Además, puesto que:
Obtenemos finalmente:
Véase también
coeficiente virial
Referencias
Clausius, RJE (1870). «On a Mechanical Theorem Applicable to Heat». Philosophical Magazine, Ser. 440: 122–127.
George Schmidt, Physics of High Temperature Plasmas (Second edition), Academic Press (1979), p.72
Bibliografía
Goldstein, H (1980). Classical Mechanics (2nd. ed edición). Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
Collins, GW (1978). The Virial Theorem in Stellar Astrophysics. Pachart Press.
Callen, Herbert B. Thermodynamics and an introduction to Thermostatistics.
Datos:Q620602
Octubre 21, 2021
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En mecanica clasica el teorema del virial es una ecuacion general que relaciona la energia cinetica total promedio T displaystyle left langle T right rangle de un sistema con su energia potencial promedio V displaystyle left langle V right rangle donde los parentesis angulares representan el promedio temporal de la magnitud contenida entre ellos Matematicamente el teorema del virial establece que T 1 2 k 1 N F k r k displaystyle left langle T right rangle frac 1 2 sum k 1 N left langle mathbf F k cdot mathbf r k right rangle Donde Fk representa la fuerza sobre la particula k esima que esta ubicada en la posicion rk Indice 1 Aplicaciones 2 Definiciones del virial y su derivada temporal 3 Conexion con la energia potencial entre particulas 4 Caso especial de fuerzas dependientes de potencias 5 Promedio temporal y el teorema del virial 6 Extensiones del teorema del virial 7 Inclusion de campos electromagneticos 8 Demostracion 9 Vease tambien 10 Referencias 10 1 BibliografiaAplicaciones EditarEl teorema del virial permite calcular la energia cinetica total promedio aun para sistemas muy complejos en los que es muy dificil obtener una solucion exacta tales como los relacionados en mecanica estadistica esta energia cinetica total promedio se relaciona con la temperatura del sistema a traves del teorema de equiparticion Un ejemplo de sus muchas aplicaciones es el uso del teorema del virial para calcular el limite de Chandrasekhar para la estabilidad de las estrellas enanas blancas La palabra virial tiene su origen en vis la palabra en Latin para fuerza o energia y Clausius en 1870 le dio su acepcion tecnica 1 Si la fuerza entre dos particulas cualesquiera del sistema es producida por una energia potencial V r ar n que es proporcional a alguna potencia n de la distancia entre las particulas r el teorema del virial adopta la forma 2 T n V displaystyle 2 langle T rangle n langle V rangle En Termodinamica el teorema del virial nos permite escribir un modelo que se aproxime a un gas real que se encuentre en la Naturaleza Para ello se usa un desarrollo en potencias de 1 v y se obtiene en magnitudes molares p V R T 1 B T V C T V 2 displaystyle frac pV RT 1 frac B T V frac C T V 2 Donde B T C T son el segundo coeficiente del virial tercer coeficiente del virial respectivamente A este desarrollo tambien se le conoce con el nombre de desarrollo de Kammerlingh Onnes Como ejemplo el gas de van der Waals puede escribirse usando el desarrollo de Kammerlingh Onnes como de nuevo en magnitudes molares P v R T 1 b a R T v b v 2 b v 3 displaystyle frac Pv RT 1 frac b frac a RT v left frac b v right 2 left frac b v right 3 Por lo tanto dos veces la energia cinetica total T displaystyle left langle T right rangle es igual a n veces la energia potencial total promedio V T O T displaystyle left langle V TOT right rangle Donde V r representa la energia potencial entre dos particulas VTOT representa la energia potencial total del sistema o sea la suma de la energia potencial V r sobre todos los pares de particulas en el sistema Un ejemplo comun de este sistema es una estrella que se existe gracias a su propia fuerza de gravedad donde n es 1 Aunque el teorema del virial depende de promediar la energia cinetica total y la energia potencial total esta presentacion deja para un paso proximo el promediar Definiciones del virial y su derivada temporal EditarPara un grupo de N displaystyle N particulas puntuales el momento de inercia escalar I con respecto al origen queda definido por la ecuacion I k 1 N m k r k 2 k 1 N m k r k 2 displaystyle I sum k 1 N m k mathbf r k 2 sum k 1 N m k r k 2 donde mk y rk representan la masa y la posicion de la particula kesima El virial escalar G queda definido por la ecuacion G k 1 N p k r k displaystyle G sum k 1 N mathbf p k cdot mathbf r k donde pk es el vector momento de la particula kesima Suponiendo que las masas son constantes el virial G es la derivada temporal de este momento de inercia G 1 2 d I d t k 1 N m k d r k d t r k k 1 N p k r k displaystyle G frac 1 2 frac dI dt sum k 1 N m k frac d mathbf r k dt cdot mathbf r k sum k 1 N mathbf p k cdot mathbf r k A su vez la derivada temporal del virial G es d G d t k 1 N p k d r k d t k 1 N d p k d t r k displaystyle frac dG dt sum k 1 N mathbf p k cdot frac d mathbf r k dt sum k 1 N frac d mathbf p k dt cdot mathbf r k k 1 N m k d r k d t d r k d t k 1 N F k r k displaystyle sum k 1 N m k frac d mathbf r k dt cdot frac d mathbf r k dt sum k 1 N mathbf F k cdot mathbf r k dd o en forma mas simple d G d t 2 T k 1 N F k r k displaystyle frac dG dt 2T sum k 1 N mathbf F k cdot mathbf r k Aqui m k displaystyle m k es la masa de la particula k e s i m a displaystyle k esima F k d p k d t displaystyle mathbf F k frac d mathbf p k dt es la fuerza neta sobre la particula y T displaystyle T es la energia cinetica total del sistema T 1 2 k 1 N m k v k 2 1 2 k 1 N m k d r k d t d r k d t displaystyle T frac 1 2 sum k 1 N m k v k 2 frac 1 2 sum k 1 N m k frac d mathbf r k dt cdot frac d mathbf r k dt Conexion con la energia potencial entre particulas EditarLa fuerza total F k displaystyle mathbf F k sobre la particula k displaystyle k es la suma de todas las fuerzas que ejercen todas las otras particulas j displaystyle j en el sistema F k j 1 N F j k displaystyle mathbf F k sum j 1 N mathbf F jk donde F j k displaystyle mathbf F jk es la fuerza aplicada por la particula j displaystyle j sobre la particula k displaystyle k Por lo tanto el termino de fuerza de la derivada temporal del virial resulta ser k 1 N F k r k k 1 N j 1 N F j k r k displaystyle sum k 1 N mathbf F k cdot mathbf r k sum k 1 N sum j 1 N mathbf F jk cdot mathbf r k Dado que ninguna particula actua sobre si misma o sea F j k 0 displaystyle mathbf F jk 0 siempre que j k displaystyle j k se tiene k 1 N F k r k k 1 N j lt k F j k r k k 1 N j gt k F j k r k k 1 N j lt k F j k r k r j displaystyle sum k 1 N mathbf F k cdot mathbf r k sum k 1 N sum j lt k mathbf F jk cdot mathbf r k sum k 1 N sum j gt k mathbf F jk cdot mathbf r k sum k 1 N sum j lt k mathbf F jk cdot left mathbf r k mathbf r j right donde se ha supuesto que vale la tercera ley del movimiento de Newton o sea F j k F k j displaystyle mathbf F jk mathbf F kj una reaccion igual y opuesta A menudo sucede que las fuerzas son producto de una energia potencial V displaystyle V que es solo funcion de la distancia r j k displaystyle r jk entre las particulas j displaystyle j y k displaystyle k Dado que la fuerza es el gradiente de la energia potencial entonces resulta que F j k r k V d V d r r k r j r j k displaystyle mathbf F jk nabla mathbf r k V frac dV dr left frac mathbf r k mathbf r j r jk right lo cual es igual y opuesto a F k j r j V displaystyle mathbf F kj nabla mathbf r j V la fuerza aplicada por la particula k displaystyle k sobre la particula j displaystyle j lo que se puede confirmar mediante un calculo explicito Por lo tanto el termino fuerza de la derivada temporal del virial es k 1 N F k r k k 1 N j lt k F j k r k r j k 1 N j lt k d V d r r k r j 2 r j k k 1 N j lt k d V d r r j k displaystyle sum k 1 N mathbf F k cdot mathbf r k sum k 1 N sum j lt k mathbf F jk cdot left mathbf r k mathbf r j right sum k 1 N sum j lt k frac dV dr frac left mathbf r k mathbf r j right 2 r jk sum k 1 N sum j lt k frac dV dr r jk Por lo tanto se tiene d G d t 2 T k 1 N F k r k 2 T k 1 N j lt k d V d r r j k displaystyle frac dG dt 2T sum k 1 N mathbf F k cdot mathbf r k 2T sum k 1 N sum j lt k frac dV dr r jk Caso especial de fuerzas dependientes de potencias EditarUn caso especial comun es aquel en el cual la energia potencial V displaystyle V entre dos particulas es proporcional a una potencia n de la distancia que las separa r V r j k a r j k n displaystyle V r jk alpha r jk n donde el coeficiente a y el exponente n son constantes En estos casos el termino de fuerza de la derivada temporal del virial se expresa por la ecuacion k 1 N F k r k k 1 N j lt k d V d r r j k k 1 N j lt k n V r j k n V T O T displaystyle sum k 1 N mathbf F k cdot mathbf r k sum k 1 N sum j lt k frac dV dr r jk sum k 1 N sum j lt k nV r jk nV TOT donde V T O T displaystyle V TOT es la energia potencial total del sistema V T O T k 1 N j lt k V r j k displaystyle V TOT sum k 1 N sum j lt k V r jk Por lo tanto se tiene d G d t 2 T k 1 N F k r k 2 T n V T O T displaystyle frac dG dt 2T sum k 1 N mathbf F k cdot mathbf r k 2T nV TOT Para sistemas gravitatorios y para sistemas electrostaticos el exponente n es 1 resultando la identidad de Lagrange d G d t 1 2 d 2 I d t 2 2 T V T O T displaystyle frac dG dt frac 1 2 frac d 2 I dt 2 2T V TOT lo cual fue descubierto por Lagrange y posteriormente extendido por Jacobi Promedio temporal y el teorema del virial EditarEl promedio de esta derivada en un lapso de tiempo t displaystyle tau se define como d G d t t 1 t 0 t d G d t d t 1 t 0 t d G G t G 0 t displaystyle left langle frac dG dt right rangle tau frac 1 tau int 0 tau frac dG dt dt frac 1 tau int 0 tau dG frac G tau G 0 tau de donde se obtiene la siguiente ecuacion exacta d G d t t 2 T t k 1 N F k r k t displaystyle left langle frac dG dt right rangle tau 2 left langle T right rangle tau sum k 1 N left langle mathbf F k cdot mathbf r k right rangle tau El teorema del virial afirma que si d G d t t 0 displaystyle left langle frac dG dt right rangle tau 0 entonces 2 T t k 1 N F k r k t displaystyle 2 left langle T right rangle tau sum k 1 N left langle mathbf F k cdot mathbf r k right rangle tau Existen numerosas razones por las cuales el promedio de la derivada temporal se puede anular o sea d G d t t 0 displaystyle left langle frac dG dt right rangle tau 0 Una razon que se menciona se aplica a sistemas constrenidos o sea sistemas que se encuentran limitados a permanecer juntos por siempre En este caso el virial G b o u n d displaystyle G mathrm bound por lo general queda acotado entre dos extremos G min displaystyle G min y G max displaystyle G max y el promedio tiende a cero en el limite de tiempos muy largos t displaystyle tau lim t d G b o u n d d t t lim t G t G 0 t lim t G max G min t 0 displaystyle lim tau rightarrow infty left left langle frac dG mathrm bound dt right rangle tau right lim tau rightarrow infty left frac G tau G 0 tau right leq lim tau rightarrow infty frac G max G min tau 0 Aun si el promedio de la derivada temporal d G d t t 0 displaystyle left langle frac dG dt right rangle tau approx 0 es aproximadamente cero el teorema del virial vale con el mismo grado de aproximacion Para fuerzas que obedecen a una ley de potencia con un exponente n la ecuacion general establece que T t 1 2 k 1 N F k r k t n 2 V T O T t displaystyle langle T rangle tau frac 1 2 sum k 1 N langle mathbf F k cdot mathbf r k rangle tau frac n 2 langle V TOT rangle tau Para el caso de atraccion gravitatoria n es igual a 1 y la energia cinetica promedio es igual a un medio de la energia potencial promedio negativa T t 1 2 V T O T t displaystyle langle T rangle tau frac 1 2 langle V TOT rangle tau Este resultado es util para sistemas gravitatorios complejos tales como sistemas solares o galaxias No es preciso que el promedio sea en el tiempo se puede realizar un promedio de colectivo con resultados equivalentes Si bien ha sido desarrollado para la mecanica clasica el teorema del virial es tambien valido en el ambito de la mecanica cuantica Extensiones del teorema del virial EditarEn 1903 Lord Rayleigh publico una generalizacion del teorema del virial 2 Henri Poincare utilizo una forma del teorema del virial en 1911 para el problema de determinar la estabilidad cosmologica 3 En 1945 Ledoux desarrollo una forma variacional del teorema del virial 4 Parker 5 Chandrasekhar 6 y Fermi 7 a su vez desarrollaron formas tensoriales del teorema del virial Inclusion de campos electromagneticos EditarEs posible extender el teorema del virial para incluir campos electricos y magneticos El resultado es 8 1 2 d 2 d t 2 I V x k G k t d 3 r 2 T U W E W M x k p i k T i k d S i displaystyle frac 1 2 frac d 2 dt 2 I int V x k frac partial G k partial t d 3 r 2 T U W E W M int x k p ik T ik dS i donde I es el momento de inercia G es la densidad de momento del campo electromagnetico T es la energia cinetica del fluido U es la energia termica aleatoria de las particulas WE y WM son la energia electrica y magnetica contenidas en el volumen bajo consideracion Finalmente pik es el tensor de presion del fluido expresdo en el sistema de coordenadas movil local p i k S n s m s v i v k s V i V k S m s n s displaystyle p ik Sigma n sigma m sigma langle v i v k rangle sigma V i V k Sigma m sigma n sigma y Tik es el tensor electromagnetico de tensiones T i k e 0 E 2 2 B 2 2 m 0 e 0 E i E k B i B k m 0 displaystyle T ik left frac varepsilon 0 E 2 2 frac B 2 2 mu 0 right left varepsilon 0 E i E k frac B i B k mu 0 right Demostracion EditarEmpleando el formalismo lagrangiano definimos la siguiente magnitud S i p i r i displaystyle S sum i mathbf p i cdot mathbf r i Siendo r i displaystyle mathbf r i las coordenadas generalizadas y p i L r i displaystyle mathbf p i frac partial L partial dot mathbf r i los momentos generalizados A continuacion calculamos S lim t 1 t i 0 t d d t p i r i d t lim t 1 t i p i r i displaystyle langle dot S rangle lim t to infty frac 1 t sum i int 0 t frac d dt mathbf p i cdot mathbf r i cdot dt lim t to infty frac 1 t sum i mathbf p i cdot mathbf r i Suponiendo que en el sistema dado las coordenadas y momentos generalizados estan acotados concluimos que S i p i r i i p i r i 0 displaystyle langle dot S rangle sum i langle dot mathbf p i cdot mathbf r i rangle sum i langle mathbf p i cdot dot mathbf r i rangle 0 Ademas puesto que i p i r i 2 T p i F i displaystyle sum i mathbf p i cdot dot mathbf r i 2T quad quad dot mathbf p i mathbf F i Obtenemos finalmente T 1 2 i F i r i displaystyle langle T rangle frac 1 2 sum i langle mathbf F i cdot mathbf r i rangle Vease tambien Editarcoeficiente virialReferencias Editar Clausius RJE 1870 On a Mechanical Theorem Applicable to Heat Philosophical Magazine Ser 4 40 122 127 Lord Rayleigh 1903 Unknown Poincare H Lectures on Cosmological Theories Paris Hermann Ledoux P 1945 On the Radial Pulsation of Gaseous Stars Ap J 102 143 153 Parker E N 1954 Tensor Virial Equations Physical Review 96 6 1686 1689 Chandrasekhar S Lebovitz NR 1962 Unknown Ap J 136 1037 1047 Chandrasekhar S Fermi E 1953 Unknown Ap J 118 116 George Schmidt Physics of High Temperature Plasmas Second edition Academic Press 1979 p 72 Bibliografia Editar Goldstein H 1980 Classical Mechanics 2nd ed edicion Addison Wesley ISBN 0 201 02918 9 Collins GW 1978 The Virial Theorem in Stellar Astrophysics Pachart Press Callen Herbert B Thermodynamics and an introduction to Thermostatistics Datos Q620602 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Teorema del virial amp oldid 131135430, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,