Teorema del trinomio

Partiendo de la definición del teorema del binomio (véase teorema del binomio, formulación del teorema) y coeficiente trinomial (véase coeficiente trinomial, pasos previos) se puede reescribir la fórmula del teorema del binomio de tal forma que para la expansión de un trinomio ${\displaystyle (x+y+z)^{n}}$ se cumple un teorema análogo. ^[1]​

Pasos previos

En la sección pasos previos del coeficiente trinomial, queda definido que el coeficiente binomial ${\displaystyle {n \choose k}}$  podía ser reescrito si se define un ${\displaystyle r_{1}=k}$  y un ${\displaystyle r_{2}=n-k}$  [${\displaystyle r_{1}}$  y ${\displaystyle r_{2}}$  son enteros positivos (${\displaystyle r_{1}}$ , ${\displaystyle r_{2}}$  ${\displaystyle \in \mathrm {Z} ^{+}}$ )] siendo ${\displaystyle r_{1}+r_{2}=n}$ , de tal forma que ${\displaystyle {n \choose k}={n \choose r_{1},r_{2}}}$ .

Basándose en el teorema del binomio que establece que cualquier potencia de un binomio ${\displaystyle x+y}$  puede ser expandida en una suma de la forma:

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}={n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}y+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}xy^{n-1}+{n \choose n}y^{n}}$

(Véase la referencia completa en teorema del binomio, formulación del teorema).

se puede reescribir el binomio anterior de la siguiente forma: ${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{n=r_{1}+r_{2}}{n \choose r_{1},r_{2}}x^{r_{2}}y^{r_{1}}}$ 

Definición

Si ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {R} ,}$  ${\displaystyle r_{1}}$ , ${\displaystyle r_{2}}$  y ${\displaystyle r_{3}}$  son enteros positivos (${\displaystyle r_{1}}$ , ${\displaystyle r_{2}}$ , ${\displaystyle r_{3}}$  ${\displaystyle \in \mathrm {Z} ^{+}}$ ) tal que ${\displaystyle n=r_{1}+r_{2}+r_{3}}$ , entonces la expansión del trinomio ${\displaystyle (x+y+z)^{n}}$  viene dada por la expresión ${\displaystyle (x+y+z)^{n}=\sum _{n=r_{1}+r_{2}+r_{3}}{n \choose r_{1},r_{2},r_{3}}x^{r_{2}}y^{r_{1}}z^{r_{3}}}$  ^[1]​

De esta forma para la expansión de un trinomio ${\displaystyle (x+y+z)^{n}}$  se cumple un teorema análogo. ^[1]​

Referencias

1. «The Trinomial Theorem - Mathonline». mathonline.wikidot.com. 

petris

•   Datos: Q3077653