El Teorema de empaquetamiento de circunferencias (conocido también como el Teorema Koebe–Andreev–Thurston) describe en el plano las posibles relaciones de tangencia entre círculos cuyos interiores son disjuntos (es decir, sin otras circunferencias en su interior). Un empaquetamiento de circunferencias es una colección conectada de circunferencias (en general, sobre cualquier superficie de Riemann) cuyos interiores son disjuntos. El grafo de intersección (denominado a veces como grafo de tangencia o grafo de contacto) de un empaquetamiento de circunferencias es un grafo que tiene una circunferencia en cada vértice, y el lado de cada par de vértices indica cuales son tangentes. Si el empaquetamiento de circunferencias se realiza sobre el plano, o, equivalentemente, sobre una esfera, entonces su grafo de intersección se denomina 'grafo de monedas'. Los grafos de monedas siempre están conectados, son simples, y planos.[1]
Una ilustración del teorema de empaquetamiento de circunferencias en un grafo plano de K5 (el grafo completo de cinco vértices) menos un lado. Las posiciones y los colores de los vértices en el grafo superior y las circunferencias se corresponden; cualesquiera dos vértices tienen un lado y esto es equivalente a suponer tangencia entre ellos. El interior de las circunferencias es disjunto.
El teorema de empaquetamiento de circunferencias establece que, el contrario de esta afirmación, es también verdad: Para cada grafo conectado y plano G hay un empaquetamiento de circunferencias en el plano cuya grafo de intersección es (isomórfico a) G. El teorema fue formulado por el matemático Paul Koebe en el año 1936.[2]
Concepto
Un grafo G es triangulado planar si es planar, y cada una de la tres aristas del grafo G están incluidas en la esfera, o en otras palabras, si G es el 1-esqueleto de un complejo simplicial el cual es homeomórfico a la esfera. Cualquier grafo triangulado planar G se encuentra conectado y es simple, de esta forma el teorema de empaquetado de circunferencias garantiza la existencia de una circunferencia cuyo grafo es (isomórfico a) G. Si G debe ser finito, de la misma forma el empaquetado tendrá un número finito de circunferencias. Tal y como se puede deducir del anterior teorema, cada grafo planar máximo debe poseer un único grafo asociado.
El matemático William Thurston observa la unicidad como consecuencia del teorema de Rigidez de Mostow.[3] El plano en el que las circunferencias se empaquetan puede ser visto como la frontera de la mitad de un plano del espacio hiperbólico. Con esta perspectiva, cada circunferencia es el contorno de un plano en el espacio hiperbólico. Se puede definir un conjunto de planos a partir de circunferencias empaquetadas, y un segundo conjunto de planos disjuntos definidos por las circunferencias de cada espacio triangular entre tres circunferencias en el empaquetado. Estos dos conjuntos de planos interseccionan formando ángulos rectos, formando generadores de un grupo de reflexión cuyo dominio fundamental puede verse como una variedad hiperbólica. Mediante el teorema de rigidez de Mostow, la estructura hiperbólica de este dominio puede determinarse de forma única, gracias a la isometría de este espacio hipebólico. Estas isometrías pueden ser representadas en términos de acciones en el plano euclídeo en operaciones del modelo de medio plano debido a las transformación de Möbius.
Referencias
Koebe, Paul (1936), "Kontaktprobleme der Konformen Abbildung", Ber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Phys. Kl. 88: 141–164.
Andreev, E. M. (1970), "Convex polyhedra of finite volume in Lobačevskiĭ space", Mat. Sb. (N.S.) 83 (125): 256–260, MR 0273510
Thurston, William (1985), The finite Riemann mapping theorem, Invited talk at the International Symposium at Purdue University on the occasion of the proof of the Bieberbach conjecture.
teorema, empaquetamiento, circunferencias, conocido, también, como, teorema, koebe, andreev, thurston, describe, plano, posibles, relaciones, tangencia, entre, círculos, cuyos, interiores, disjuntos, decir, otras, circunferencias, interior, empaquetamiento, ci. El Teorema de empaquetamiento de circunferencias conocido tambien como el Teorema Koebe Andreev Thurston describe en el plano las posibles relaciones de tangencia entre circulos cuyos interiores son disjuntos es decir sin otras circunferencias en su interior Un empaquetamiento de circunferencias es una coleccion conectada de circunferencias en general sobre cualquier superficie de Riemann cuyos interiores son disjuntos El grafo de interseccion denominado a veces como grafo de tangencia o grafo de contacto de un empaquetamiento de circunferencias es un grafo que tiene una circunferencia en cada vertice y el lado de cada par de vertices indica cuales son tangentes Si el empaquetamiento de circunferencias se realiza sobre el plano o equivalentemente sobre una esfera entonces su grafo de interseccion se denomina grafo de monedas Los grafos de monedas siempre estan conectados son simples y planos 1 Una ilustracion del teorema de empaquetamiento de circunferencias en un grafo plano de K5 el grafo completo de cinco vertices menos un lado Las posiciones y los colores de los vertices en el grafo superior y las circunferencias se corresponden cualesquiera dos vertices tienen un lado y esto es equivalente a suponer tangencia entre ellos El interior de las circunferencias es disjunto El teorema de empaquetamiento de circunferencias establece que el contrario de esta afirmacion es tambien verdad Para cada grafo conectado y plano G hay un empaquetamiento de circunferencias en el plano cuya grafo de interseccion es isomorfico a G El teorema fue formulado por el matematico Paul Koebe en el ano 1936 2 Concepto EditarUn grafo G es triangulado planar si es planar y cada una de la tres aristas del grafo G estan incluidas en la esfera o en otras palabras si G es el 1 esqueleto de un complejo simplicial el cual es homeomorfico a la esfera Cualquier grafo triangulado planar G se encuentra conectado y es simple de esta forma el teorema de empaquetado de circunferencias garantiza la existencia de una circunferencia cuyo grafo es isomorfico a G Si G debe ser finito de la misma forma el empaquetado tendra un numero finito de circunferencias Tal y como se puede deducir del anterior teorema cada grafo planar maximo debe poseer un unico grafo asociado lt center Teorema de Koebe Andreev Thurston Si G es un grafo finito triangular plano entonces el empaquetamiento de circunferencias cuyo grafo de tangencia es isomorfico a G es unico salvo transformacion de Mobius o reflexion en los lados El matematico William Thurston observa la unicidad como consecuencia del teorema de Rigidez de Mostow 3 El plano en el que las circunferencias se empaquetan puede ser visto como la frontera de la mitad de un plano del espacio hiperbolico Con esta perspectiva cada circunferencia es el contorno de un plano en el espacio hiperbolico Se puede definir un conjunto de planos a partir de circunferencias empaquetadas y un segundo conjunto de planos disjuntos definidos por las circunferencias de cada espacio triangular entre tres circunferencias en el empaquetado Estos dos conjuntos de planos interseccionan formando angulos rectos formando generadores de un grupo de reflexion cuyo dominio fundamental puede verse como una variedad hiperbolica Mediante el teorema de rigidez de Mostow la estructura hiperbolica de este dominio puede determinarse de forma unica gracias a la isometria de este espacio hipebolico Estas isometrias pueden ser representadas en terminos de acciones en el plano euclideo en operaciones del modelo de medio plano debido a las transformacion de Mobius Referencias Editar Koebe Paul 1936 Kontaktprobleme der Konformen Abbildung Ber Sachs Akad Wiss Leipzig Math Phys Kl 88 141 164 Andreev E M 1970 Convex polyhedra of finite volume in Lobacevskiĭ space Mat Sb N S 83 125 256 260 MR 0273510 Thurston William 1985 The finite Riemann mapping theorem Invited talk at the International Symposium at Purdue University on the occasion of the proof of the Bieberbach conjecture Vease tambien EditarProblema de empaquetamiento Teorema de Fary Datos Q5121504 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Teorema de empaquetamiento de circunferencias amp oldid 133036136, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
