Descripción de una barra de sección cuadrada sometida a esfuerzos de torsión
En mecánica de sólidos deformables, es habitual utilizar el modelo de viga o barra, donde una dimensión es mucho mayor que las otras dos. Así, es posible calcular en función de la coordenada X, relacionando las cargas mecánicas con propiedades del material y la sección perpendicular a dicha dirección preferente.
Cuanto mayor sea la sección, menores serán las deformaciones ante una carga dada. Sin embargo, no importa sólo el valor absoluto del área geométrica, sino también su distribución (momento de inercia). De esa forma se acuña el concepto ingenieril de rigidez. Así, un problema típico del cálculo de estructuras busca calcular la forma y posición de una sección que minimice el área (y por tanto el material empleado) al soportar unos determinados esfuerzos.
El teorema de Saint-Venant enuncia la configuración óptima para una viga maciza (sin huecos), que soporta esfuerzos de torsión.
Donde el supremo se toma mediante cálculo variacional sobre todas las posibles funciones diferenciables que tienen como contorno D. La existencia de dicho supremo se puede demostrar como consecuencia de la desigualdad de Poincaré.
Saint-Venant[2] conjeturó en 1856 que de todos los dominios posibles D de igual área A, el círculo era el que tenía una mayor rigidez torsional, es decir:
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Una prueba rigurosa de dicha desigualdad no se obtuvo hasta 1948 por parte de Pólya.[3] Otra demostración de este teorema fue dada por Davenport.[4] La prueba más general y la estimación
↑ E. Makai, A proof of Saint-Venant's theorem on torsional rigidity, Acta Mathematica Hungarica, Volume 17, Numbers 3–4 / September, 419–422,1966doi 10.1007/BF01894885
A J-C Barre de Saint-Venant, Mémoire sur la torsion des prismes, Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des Sciences, 14 (1856), pp. 233–560.
G. Pólya, Torsional rigidity, principal frequency, electrostatic capacity and symmetrization, Quarterly of Applied Math., 6 (1948), pp. 267, 277.
G. Pólya and G. Szegő, Isoperimetric inequalities in Mathematical Physics (Princeton Univ.Press, 1951).
Datos:Q3699212
Agosto 11, 2021
teorema, saint, venant, para, otros, usos, este, término, véase, saint, venant, desambiguación, conoce, como, teorema, saint, venant, afimación, sección, simplemente, conexa, resistencia, torsión, mecánica, máxima, círculo, teorema, honra, memoria, matemático,. Para otros usos de este termino vease Saint Venant desambiguacion Se conoce como teorema de Saint Venant a la afimacion La seccion simplemente conexa con resistencia a la torsion mecanica maxima es un circulo 1 El teorema honra la memoria del matematico y mecanico frances Adhemar Jean Claude Barre de Saint Venant 1797 1886 Conceptos previos Editar Descripcion de una barra de seccion cuadrada sometida a esfuerzos de torsion En mecanica de solidos deformables es habitual utilizar el modelo de viga o barra donde una dimension es mucho mayor que las otras dos Asi es posible calcular en funcion de la coordenada X relacionando las cargas mecanicas con propiedades del material y la seccion perpendicular a dicha direccion preferente Cuanto mayor sea la seccion menores seran las deformaciones ante una carga dada Sin embargo no importa solo el valor absoluto del area geometrica sino tambien su distribucion momento de inercia De esa forma se acuna el concepto ingenieril de rigidez Asi un problema tipico del calculo de estructuras busca calcular la forma y posicion de una seccion que minimice el area y por tanto el material empleado al soportar unos determinados esfuerzos El teorema de Saint Venant enuncia la configuracion optima para una viga maciza sin huecos que soporta esfuerzos de torsion Descripcion formal EditarDado un dominio simplemente conexo D en un plano con area A radio r displaystyle rho y siendo s displaystyle sigma el area de su mayor circulo inscrito podemos definir la rigidez torsional P de D mediante P 4 sup f D f d x d y 2 D f x 2 f y 2 d x d y displaystyle P 4 sup f frac left int int limits D f dx dy right 2 int int limits D f x 2 f y 2 dx dy Donde el supremo se toma mediante calculo variacional sobre todas las posibles funciones diferenciables que tienen como contorno D La existencia de dicho supremo se puede demostrar como consecuencia de la desigualdad de Poincare Saint Venant 2 conjeturo en 1856 que de todos los dominios posibles D de igual area A el circulo era el que tenia una mayor rigidez torsional es decir P P circle A 2 2 p displaystyle P leq P text circle leq frac A 2 2 pi Una prueba rigurosa de dicha desigualdad no se obtuvo hasta 1948 por parte de Polya 3 Otra demostracion de este teorema fue dada por Davenport 4 La prueba mas general y la estimacion P lt 4 r 2 A displaystyle P lt 4 rho 2 A fue dada por Makai 1 Referencias Editar a b E Makai A proof of Saint Venant s theorem on torsional rigidity Acta Mathematica Hungarica Volume 17 Numbers 3 4 September 419 422 1966doi 10 1007 BF01894885 A J C Barre de Saint Venant Memoire sur la torsion des prismes Memoires presentes par divers savants a l Academie des Sciences 14 1856 pp 233 560 G Polya Torsional rigidity principal frequency electrostatic capacity and symmetrization Quarterly of Applied Math 6 1948 pp 267 277 G Polya and G Szego Isoperimetric inequalities in Mathematical Physics Princeton Univ Press 1951 Datos Q3699212Obtenido de https es wikipedia org w index php title Teorema de Saint Venant amp oldid 124394422, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
