El teorema de Pick es una fórmula que relaciona el área de un polígono simple cuyos vértices tienen coordenadas enteras (los polígonos reticulares)[1] con el número de puntos en su interior y en su borde (frontera) que tengan también coordenadas enteras. Un punto cuyas coordenadas sean enteras se conoce como punto entero. El teorema de Pick establece que:
Uso del teorema de Pick para calcular el área del polígono.
Sea un polígono simple cuyos vértices tienen coordenadas enteras. Si B es el número de puntos enteros en el borde, I el número de puntos enteros en el interior del polígono, entonces el área A del polígono se puede calcular con la fórmula:
El teorema, como se muestra aquí es solo válido para polígonos simples, es decir, polígonos de una sola pieza que no tienen agujeros. Para una versión más general del teorema el "−1" de la fórmula puede ser reemplazado con "", donde es la Característica de Euler de P.
Georg Alexander Pick describió el resultado en 1899. El tetraedro de Reeve muestra que no existe un análogo del teorema de Pick en tres dimensiones que exprese el volumen de un politopo contando los puntos en su interior y borde. Sin embargo, existe una generalización en dimensiones superiores mediante polinomios de Ehrhart. La fórmula también se generaliza a la superficie de los poliedros.
Demostración
El resultado se demuestra por inducción matemática.
Considera un polígono P y un triángulo T con una arista en común con P. Asumimos que el teorema de Pick es cierto de forma independiente tanto para P como para T; queremos mostrar que también se obtiene añadiendo T a P. Dado que P y T comparten una arista, todos los puntos del borde a lo largo de la arista en común se añaden como puntos interiores, excepto los dos puntos en los extremos que se añaden como puntos en el borde. Así, siendo c el número de puntos en el borde en común, tenemos que
de manera que
Dado que se está asumiendo que el teorema es cierto para P y T,
Sabiendo que cualquier polígono puede triangularse, si el teorema es cierto para P, pudiendo ser construido mediante triángulos, también será cierto para polígonos construidos mediante triángulos. Para terminar la prueba por inducción, se debe demostrar entonces que el teorema es cierto para cualquier triángulo.
Siendo cierto el teorema para cuadrados de lado 1, se puede deducir igualmente por inducción que lo es para rectángulos con lados paralelos a los ejes. Con ello, también es cierto, mediante aritmética básica, para los triángulos rectángulos resultantes de seccionar el rectángulo por cualquier diagonal, sabiendo que
siendo el número de puntos internos de R cortados por la diagonal.
Cualquier triángulo T puede inscribirse un rectángulo R con lados paralelos a los ejes añadiendo como mucho tres triángulos rectángulos U, V, W (con hipotenusas en las aristas de T no paralelas a alguno de los ejes). Su área queda determinada como diferencia entre el área de R y el área de U, V, W. Con ello, también es cierto el teorema para T, mediante aritmética básica, por ser cierto el teorema para todas ellas y sabiendo que
siendo el número de puntos internos de R cortados por la hipotenusa de cada triángulo rectángulo.
Por tanto, el teorema es cierto para cualquier triángulo, demostrando que también lo es para el polígono P y por inducción para cualquier polígono PT.
Referencias
Clemens y otros: "Geometría con aplicaciones y solución de problemas"
teorema, pick, teorema, pick, fórmula, relaciona, área, polígono, simple, cuyos, vértices, tienen, coordenadas, enteras, polígonos, reticulares, número, puntos, interior, borde, frontera, tengan, también, coordenadas, enteras, punto, cuyas, coordenadas, sean, . El teorema de Pick es una formula que relaciona el area de un poligono simple cuyos vertices tienen coordenadas enteras los poligonos reticulares 1 con el numero de puntos en su interior y en su borde frontera que tengan tambien coordenadas enteras Un punto cuyas coordenadas sean enteras se conoce como punto entero El teorema de Pick establece que Uso del teorema de Pick para calcular el area del poligono Sea un poligono simple cuyos vertices tienen coordenadas enteras Si B es el numero de puntos enteros en el borde I el numero de puntos enteros en el interior del poligono entonces el area A del poligono se puede calcular con la formula A I B 2 1 displaystyle A I frac B 2 1 Georg Alexander Pick 1899 El teorema como se muestra aqui es solo valido para poligonos simples es decir poligonos de una sola pieza que no tienen agujeros Para una version mas general del teorema el 1 de la formula puede ser reemplazado con x P displaystyle chi P donde x P displaystyle chi P es la Caracteristica de Euler de P Georg Alexander Pick describio el resultado en 1899 El tetraedro de Reeve muestra que no existe un analogo del teorema de Pick en tres dimensiones que exprese el volumen de un politopo contando los puntos en su interior y borde Sin embargo existe una generalizacion en dimensiones superiores mediante polinomios de Ehrhart La formula tambien se generaliza a la superficie de los poliedros Demostracion EditarEl resultado se demuestra por induccion matematica Considera un poligono P y un triangulo T con una arista en comun con P Asumimos que el teorema de Pick es cierto de forma independiente tanto para P como para T queremos mostrar que tambien se obtiene anadiendo T a P Dado que P y T comparten una arista todos los puntos del borde a lo largo de la arista en comun se anaden como puntos interiores excepto los dos puntos en los extremos que se anaden como puntos en el borde Asi siendo c el numero de puntos en el borde en comun tenemos que i P T i P i T c 2 b P T b P b T 2 c 2 2 displaystyle begin aligned i PT amp i P i T c 2 b PT amp b P b T 2 c 2 2 end aligned de manera que i P i T i P T c 2 b P b T b P T 2 c 2 2 displaystyle begin aligned i P i T amp i PT c 2 b P b T amp b PT 2 c 2 2 end aligned Dado que se esta asumiendo que el teorema es cierto para P y T A P T A P A T i P b P 2 1 i T b T 2 1 i P i T b P b T 2 2 i P T c 2 b P T 2 c 2 2 2 2 i P T b P T 2 1 displaystyle begin aligned A PT amp A P A T amp i P frac b P 2 1 i T frac b T 2 1 amp i P i T frac b P b T 2 2 amp i PT c 2 frac b PT 2 c 2 2 2 2 amp i PT frac b PT 2 1 end aligned Sabiendo que cualquier poligono puede triangularse si el teorema es cierto para P pudiendo ser construido mediante n displaystyle n triangulos tambien sera cierto para poligonos construidos mediante n 1 displaystyle n 1 triangulos Para terminar la prueba por induccion se debe demostrar entonces que el teorema es cierto para cualquier triangulo Siendo cierto el teorema para cuadrados de lado 1 se puede deducir igualmente por induccion que lo es para rectangulos con lados paralelos a los ejes Con ello tambien es cierto mediante aritmetica basica para los triangulos rectangulos resultantes de seccionar el rectangulo por cualquier diagonal sabiendo que A T A R 2 i R 2 i T i d b R b T i d b T i d 2 displaystyle begin aligned A T amp frac A R 2 i R amp 2i T i d b R amp b T i d b T i d 2 end aligned siendo i d displaystyle i d el numero de puntos internos de R cortados por la diagonal Cualquier triangulo T puede inscribirse un rectangulo R con lados paralelos a los ejes anadiendo como mucho tres triangulos rectangulos U V W con hipotenusas en las aristas de T no paralelas a alguno de los ejes Su area queda determinada como diferencia entre el area de R y el area de U V W Con ello tambien es cierto el teorema para T mediante aritmetica basica por ser cierto el teorema para todas ellas y sabiendo que i R i T i U i d U i V i d V i W i d W b R b U i d U 1 b V i d V 1 b W i d W 1 b T i d U i d V i d W 3 displaystyle begin aligned i R amp i T i U i d U i V i d V i W i d W b R amp b U i d U 1 b V i d V 1 b W i d W 1 b T amp i d U i d V i d W 3 end aligned siendo i d displaystyle i d el numero de puntos internos de R cortados por la hipotenusa de cada triangulo rectangulo Por tanto el teorema es cierto para cualquier triangulo demostrando que tambien lo es para el poligono P y por induccion para cualquier poligono PT Referencias Editar Clemens y otros Geometria con aplicaciones y solucion de problemas Vease tambien EditarPoligono simple Poligonos Areas Datos Q646523 Multimedia Pick s theoremObtenido de https es wikipedia org w index php title Teorema de Pick amp oldid 135014883, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
