Teorema de Knaster-Tarski

El teorema de Knaster-Tarski, que lleva los nombres de Bronisław Knaster y Alfred Tarski, es un teorema matemático del área de la teoría de retículos.

Juicio

Sean ${\displaystyle {\mathcal {A}}:=\langle A,\leq \rangle }$  un retículo completo, ${\displaystyle f\colon A\to A}$  una función monótona y ${\displaystyle P:=\{x\in A\mid f(x)=x\}}$  el conjunto de los puntos fijos de ${\displaystyle f}$  en ${\displaystyle A}$ . Entonces ${\displaystyle P\neq \emptyset }$  und ${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\langle P,\leq \rangle }$  es también un retículo completo.

Esbozo de demostración

Sean ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{\mathcal {A}}}$  la operación supremo de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  y ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{\mathcal {A}}}$  la operación ínfimo de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ .

Los siguientes pasos muestran que para subconjuntos arbitrarios de ${\displaystyle P}$ , ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$  arroja un ínfimo y un supremo en ${\displaystyle P}$ .

1. ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{\mathcal {A}}\{x\in A\mid x\leq f(x)\}}$  es punto fijo de ${\displaystyle f}$ , siendo además mayor que cualquier otro en ${\displaystyle A}$ . Por tanto se trata del supremo ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$  de ${\displaystyle P}$ .
2. Dualmente al paso 1: ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{\mathcal {A}}\{x\in A\mid f(x)\leq x\}}$  es punto fijo de ${\displaystyle f}$ , siendo además menor que cualquier otro en ${\displaystyle A}$ .
3. Para subconjuntos arbitrarios ${\displaystyle Y\subseteq P}$ , se requiere que exista un supremo ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ . Los casos ${\displaystyle Y=P}$  y ${\displaystyle Y=\emptyset }$  ya se consideraron en los pasos 1 y 2. Ahora se consideran los demás casos. Para ello se aprovecha el que ${\displaystyle \langle U,\leq \rangle }$  con ${\displaystyle \textstyle U:=\{x\in A\mid \bigcup _{\mathcal {A}}Y\leq x\}}$  es a su vez un retículo completo y que ${\displaystyle f|_{U}}$  es una función monótona ${\displaystyle U\to U}$ , que de acuerdo al paso 2 tiene en ${\displaystyle U}$  al menor de sus puntos fijos. Este es el supremo ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$  de ${\displaystyle Y}$ . En símbolos: ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{\mathcal {P}}Y:=\bigcap _{\mathcal {A}}\{x\in A\mid \bigcup _{\mathcal {A}}Y\cup f(x)\ \leq \ x\}}$ .
4. Dualmente al paso 3 se muestra que para subconjuntos arbitrarios de ${\displaystyle P}$  existe un ínfimo ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ .

Corolarios

Un corolario frecuentemente utilizado es el de la existencia de los puntos fijos ínfimo y supremo para funciones monótonas con respecto a ${\displaystyle \subseteq }$ .

Referencias

• Alfred Tarski (1955). «A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications». Pacific Journal of Mathematics. 5:2: 285-309. 
• Garrett Birkhoff, 1967. Lattice Theory, 3rd ed. Vol. 25 of AMS Colloquium Publications. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1025-5

•   Datos: Q609612