En el campo matemático del análisis funcional, el teorema de Eberlein-Šmulian (llamado así por William Frederick Eberlein y Witold Lwowitsch Schmulian) es un resultado que relaciona tres tipos diferentes de compacidad débil en un espacio de Banach.
Afirmación del teorema
Tipos de compacidad débil
Un conjunto A puede ser débilmente compacto de tres maneras diferentes:
Compacidad (o compacidad Heine-Borel): Todo cubrimiento abierto de A admite un subrecubrimiento finito.
Compacidad sucesional: Toda sucesión en A tiene una subsucesión convergente cuyo límite está en A.
Compacidad de punto límite: Todo subconjunto infinito de A tiene un punto límite en A.
Teorema de Eberlein-Šmulian
El teorema de Eberlien-Šmulian afirma que las tres son equivalentes en una topología débil de un espacio de Banach. Mientras que esta equivalencia es cierta en general para un espacio métrico, la topología débil no es metrizable en espacios vectoriales infinito-dimensionales, y por tanto se necesita el teorema de Eberlein-Šmulian.
Aplicaciones
El teorema de Eberlein-Šmulian es importante en la teoría de EDPs, y particularmente en espacios de Sóbolev. Muchos espacios de Sóbolev son espacios de Banachreflexivos y de esta forma sus subconjuntos acotados son débilmente compactos por el teorema de Alaoglu. Así, el teorema implica que los subconjuntos acotados son débilmente sucesionalmente precompactos, y por tanto es posible extraer una subsucesión débilmente convergente en el espacio de cualquier sucesión acotada de elementos de ese espacio. Dado que muchas EDPs solo tienen soluciones en el sentido débil, este teorema es un paso importante al decidir qué espacios de soluciones débiles usar al resolver una EDP.
Diestel, Joseph (1984), Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag, ISBN0-387-90859-5..
Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Part I, Wiley-Interscience..
Whitley, R.J. (1967), «An elementary proof of the Eberlein-Smulian theorem», Mathematische Annalen172 (2): 116-118, doi:10.1007/BF01350091..
Datos:Q2226650
Diciembre 17, 2021
teorema, eberlein, Šmulian, campo, matemático, análisis, funcional, teorema, eberlein, Šmulian, llamado, así, william, frederick, eberlein, witold, lwowitsch, schmulian, resultado, relaciona, tres, tipos, diferentes, compacidad, débil, espacio, banach, Índice,. En el campo matematico del analisis funcional el teorema de Eberlein Smulian llamado asi por William Frederick Eberlein y Witold Lwowitsch Schmulian es un resultado que relaciona tres tipos diferentes de compacidad debil en un espacio de Banach Indice 1 Afirmacion del teorema 1 1 Tipos de compacidad debil 1 2 Teorema de Eberlein Smulian 2 Aplicaciones 3 Vease tambien 4 ReferenciasAfirmacion del teorema EditarTipos de compacidad debil Editar Un conjunto A puede ser debilmente compacto de tres maneras diferentes Compacidad o compacidad Heine Borel Todo cubrimiento abierto de A admite un subrecubrimiento finito Compacidad sucesional Toda sucesion en A tiene una subsucesion convergente cuyo limite esta en A Compacidad de punto limite Todo subconjunto infinito de A tiene un punto limite en A Teorema de Eberlein Smulian Editar El teorema de Eberlien Smulian afirma que las tres son equivalentes en una topologia debil de un espacio de Banach Mientras que esta equivalencia es cierta en general para un espacio metrico la topologia debil no es metrizable en espacios vectoriales infinito dimensionales y por tanto se necesita el teorema de Eberlein Smulian Aplicaciones EditarEl teorema de Eberlein Smulian es importante en la teoria de EDPs y particularmente en espacios de Sobolev Muchos espacios de Sobolev son espacios de Banach reflexivos y de esta forma sus subconjuntos acotados son debilmente compactos por el teorema de Alaoglu Asi el teorema implica que los subconjuntos acotados son debilmente sucesionalmente precompactos y por tanto es posible extraer una subsucesion debilmente convergente en el espacio de cualquier sucesion acotada de elementos de ese espacio Dado que muchas EDPs solo tienen soluciones en el sentido debil este teorema es un paso importante al decidir que espacios de soluciones debiles usar al resolver una EDP Vease tambien EditarTeorema de Banach Alaoglu Teorema de Bishop Phelps Lema de Mazur Teorema de James Teorema de GoldstineReferencias EditarDiestel Joseph 1984 Sequences and series in Banach spaces Springer Verlag ISBN 0 387 90859 5 Dunford N Schwartz J T 1958 Linear operators Part I Wiley Interscience Whitley R J 1967 An elementary proof of the Eberlein Smulian theorem Mathematische Annalen 172 2 116 118 doi 10 1007 BF01350091 Datos Q2226650 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Teorema de Eberlein Smulian amp oldid 124444323, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
