Teorema de Cartan-Kähler

En matemáticas, el teorema de Cartan-Kähler es un resultado importante sobre las condiciones de integrabilidad de los sistemas diferenciales, en el caso de las funciones analíticas, para ideales diferenciales ${\displaystyle I}$. La ecuación fue introducida por primera vez por Élie Cartan y Erich Kähler, razón por la cual lleva su nombre.

Significado

No es cierto que el mero hecho de tener ${\displaystyle dI}$  contenida en ${\displaystyle I}$  sea suficiente para la integrabilidad. Hay un problema causado por «soluciones singulares». El teorema calcula ciertas constantes que deben satisfacer una desigualdad para que haya una solución.

Declaración del teorema

Dejemos que ${\displaystyle (M,I)}$  sea un verdadero EDS analítico. Supongamos que ${\displaystyle P\subseteq M}$  está conectado,${\displaystyle k}$ -dimensional, analítico real y múltiple integral regular de ${\displaystyle I}$  con ${\displaystyle r(P)\geq 0}$  (es decir, los espacios tangentes ${\displaystyle T_{p}P}$  son "extensibles" a elementos integrales de dimensiones superiores).

Además, supongamos que existe un submúltiple analítico real ${\displaystyle R\subseteq M}$  de codimensión ${\displaystyle r(P)}$  que contiene ${\displaystyle P}$  y que ${\displaystyle T_{p}R\cap H(T_{p}P)}$  tiene dimensión ${\displaystyle k+1}$  para todas las ${\displaystyle p\in P}$ .

Entonces existe un (localmente) único, conectado, ${\displaystyle (k+1)}$ -dimensional integral múltiple analítica real y dimensional ${\displaystyle X\subseteq M}$  de ${\displaystyle I}$  que satisface ${\displaystyle P\subseteq X\subseteq R}$ .

Prueba y suposiciones

El Teorema de Cauchy-Kovalevskaya se utiliza en la prueba, por lo que es necesaria la analítica.

Bibliografía

• Jean Dieudonné, Eléments d'analyse, vol. 4, (1977) Chapt. XVIII.13
• R. Bryant, S. S. Chern, R. Gardner, H. Goldschmidt, P. Griffiths, Exterior Differential Systems, Springer Verlag, New York, 1991.

Enlaces externos

• Alekseevskii, D.V. (2001), «Pfaffian problem», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• R. Bryant, "Nine Lectures on Exterior Differential Systems", 1999
• E. Cartan, "On the integration of systems of total differential equations," transl. by D. H. Delphenich
• E. Kähler, "Introduction to the theory of systems of differential equations," transl. by D. H. Delphenich

•   Datos: Q5047052