Teorema de Heine-Borel

En el análisis matemático, el teorema de Heine-Borel (también llamado teorema de Heine-Borel-Lebesgue-Bolzano-Weierstraß o incluso teorema de Borel-Lebesgue) establece condiciones para que un subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ o de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ sea compacto. Cuando se refiere al caso particular de la recta real recibe el nombre de Teorema de Heine-Borel. En el resto de los casos, es frecuente llamarlo Teorema de Borel-Lebesgue.^{[cita requerida]}

El teorema se enuncia de la siguiente manera:

Si un conjunto ${\displaystyle E\subset \mathbb {C} ^{n}}$ tiene alguna de las siguientes propiedades, entonces tiene las otras dos: ${\displaystyle E}$ es cerrado y acotado. ${\displaystyle E}$ es compacto. Todo subconjunto infinito de ${\displaystyle E}$ tiene un punto de acumulación en ${\displaystyle E}$.

Las distintas formulaciones del teorema se deben su nombre a los matemáticos Eduard Heine, Émile Borel (1895), Henri Lebesgue (1898), Bernard Bolzano y Karl Weierstrass.

Historia y motivación

La historia de lo que hoy se llama teorema de Heine-Borel comienza en el siglo XIX, con la búsqueda de sólidos cimientos para el análisis real. Central en la teoría era el concepto de la continuidad uniforme y el teorema que indica que cada función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua. Peter Gustav Lejeune Dirichlet fue el primero en demostrarlo e implícitamente utilizó la existencia de un subconjunto finito de un conjunto abierto dado de un intervalo cerrado en su prueba.^[1]​ Utilizó esta prueba en sus conferencias de 1852, solamente publicadas en 1904.^[1]​ Más tarde Eduard Heine, Karl Weierstrass y Salvatore Pincherle utilizaron técnicas similares. Émile Borel en 1895 fue el primero en declarar y demostrar una forma de lo que ahora se llama el teorema de Heine-Borel. Su formulación estaba restringida a conjuntos contables. Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) y Schoenflies (1900) lo generalizaron a conjuntos arbitrarios.^[2]​

Demostración

Teoremas preliminares

Los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos

Sea ${\displaystyle F}$  un conjunto cerrado y ${\displaystyle K}$  un conjunto compacto tales que ${\displaystyle F\subset K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ .

Sea ${\displaystyle \{G_{a}\}}$  una cubierta abierta de ${\displaystyle F}$ , entonces ${\displaystyle \{G_{a}\}\cup \{F^{c}\}}$  es una cubierta abierta de ${\displaystyle K}$  (podemos agregar ${\displaystyle F^{c}}$  ya que es abierto). Como ${\displaystyle K}$  es compacto entonces ${\displaystyle \{G_{a},F^{c}\}}$  tiene un refinamiento finito que también cubre a ${\displaystyle K}$ . Podemos quitar a ${\displaystyle F^{c}}$  y sigue cubriendo a ${\displaystyle F}$ . Así obtenemos un refinamiento finito de cualquier cubierta abierta de ${\displaystyle F}$ 

Si ${\displaystyle E\subset K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ , donde ${\displaystyle E}$  es un conjunto infinito y ${\displaystyle K}$  es compacto, entonces ${\displaystyle E}$  tiene un punto de acumulación en ${\displaystyle K}$

Si ${\displaystyle E}$  no tuviera puntos de acumulación en ${\displaystyle K}$  entonces ${\displaystyle \forall a\in K\exists B_{\varepsilon }(a)}$  tal que ${\displaystyle B_{\varepsilon }(a)-a}$  no contiene puntos de ${\displaystyle E}$  donde ${\displaystyle B_{\varepsilon }}$  es una epsilon-vecindad y ${\displaystyle \varepsilon >0}$ . Es claro que el conjunto de estas vecindades forman una cubierta para ${\displaystyle E}$  pero no tiene un refinamiento finito, esto también es cierto para ${\displaystyle K}$ , que contradiría la definición de que es compacto.

Toda k-celda es compacta

Sea ${\displaystyle I}$  una k-celda que consiste de todos los puntos x${\displaystyle =(x_{1},x_{2},...,x_{k})}$  tal que ${\displaystyle a\leq x_{j}\leq b}$  y ${\displaystyle j=1,2,...,k}$ . Sea ${\displaystyle \delta =(\sum (b_{j}-a_{j})^{2})^{1/2}}$  entonces si ${\displaystyle x,y\in I}$  ${\displaystyle |x-y|<\delta }$ . Sea ${\displaystyle \{G_{a}\}}$  una cubierta arbitraria de ${\displaystyle I\,}$  y supongamos que ${\displaystyle I}$  no se puede cubrir con una cantidad finita de ${\displaystyle G_{a}}$ 's.

Tomemos ${\displaystyle c_{s}={\frac {a_{s}+b_{s}}{2}}}$  entonces los intervalos ${\displaystyle [a_{s},c_{s}][c_{s},b_{s}]}$  determinan ${\displaystyle 2^{k}}$  celdas ${\displaystyle Q_{i}i=1,2,...,2^{k}}$ . Entonces por lo menos un ${\displaystyle Q_{i}}$  no se puede cubrir con una cantidad finita de ${\displaystyle G_{a}}$ 's. Lo llamaremos ${\displaystyle I_{1}}$  y así obtenemos una sucesión ${\displaystyle \{I_{n}\}}$  tal que:

1. ${\displaystyle I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset ...}$ .
2. ${\displaystyle I_{n}}$  no se puede cubrir con una cantidad finita de ${\displaystyle G_{a}}$ 's.
3. Si ${\displaystyle x,y\in I_{n}}$  entonces ${\displaystyle |x-y|<2^{-n}\delta }$ .
4. ${\displaystyle {\cap }_{n}I_{n}\neq \emptyset }$ 

Digamos que ${\displaystyle h\in {\cap }_{n}I_{n}}$ , como ${\displaystyle {\cup }_{a}G_{a}}$  cubre a ${\displaystyle I}$  entonces ${\displaystyle h\in G_{b}\subset {\cup }_{a}G_{a}}$ . Como ${\displaystyle G_{b}}$  es abierto ${\displaystyle \exists B_{\varepsilon }(h)\subset G_{b}}$ . Si tomamos n suficientemente grande tal que ${\displaystyle 2^{-n}\delta <\varepsilon }$  tenemos que este ${\displaystyle I_{n}\subset B_{\varepsilon }(h)\subset G_{b}}$  lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrir con una cantidad finita de ${\displaystyle G_{a}}$ 's.

Demostración del teorema de Heine-Borel

Si cumple 1) entonces ${\displaystyle E\subset I}$  para alguna k-celda ${\displaystyle I}$ , y 1) implicaría 2) por los teoremas 1 y 3 anteriores.

Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.

Ahora falta demostrar que si cumple 3), entonces cumple 1): Si ${\displaystyle E}$  no es acotado, entonces contiene un conjunto {${\displaystyle x_{n}}$ } tal que ${\displaystyle |x_{n}|>n}$  entonces el subconjunto {${\displaystyle x_{n}}$ } es infinito pero no tiene puntos de acumulación en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , lo cual contradice 3). Si ${\displaystyle E}$  no es cerrado, entonces existe un elemento ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$  que es un punto de acumulación de ${\displaystyle E}$  pero no está en ${\displaystyle E}$ . Para ${\displaystyle n=1,2,...}$  existen ${\displaystyle x_{n}\in E}$  tales que ${\displaystyle |x_{n}-x_{0}|<1/n}$ , entonces el conjunto {${\displaystyle x_{n}}$ } es un subconjunto infinito de ${\displaystyle E}$  cuyo único punto de acumulación es el ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ , que no pertenece a ${\displaystyle E}$ , lo que contradice 3).

Véase también

• Conjunto de Borel

Notas

1. Raman-Sundström, Manya (August–September 2015). «A Pedagogical History of Compactness». American Mathematical Monthly 122 (7): 619-635. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. Consultado el 7 de diciembre de 2015. 
2. Sundström, Manya Raman (2010). «A pedagogical history of compactness». arXiv:1006.4131v1  [math.HO]. 

•   Datos: Q253214