Teorema de Bayes

El teorema de Bayes, en la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada por el matemático inglés Thomas Bayes (1702-1761)^[1]​ y publicada póstumamente en 1763,^[2]​ que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio ${\displaystyle A}$ dado ${\displaystyle B}$ en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento ${\displaystyle B}$ dado ${\displaystyle A}$ y la distribución de probabilidad marginal de solo ${\displaystyle A}$.

Un letrero de neón que muestra el enunciado del teorema de Bayes

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de ${\displaystyle A}$ dado ${\displaystyle B}$ con la probabilidad de ${\displaystyle B}$ dado ${\displaystyle A}$. Es decir, por ejemplo, que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza. Muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Teorema

Sea ${\displaystyle \{A_{1},A_{2},...,A_{i},...,A_{n}\}}$  un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero ${\displaystyle (\operatorname {P} [A_{i}]\neq 0\;{\mbox{para }}i=1,2,\dots ,n)}$ . Si ${\displaystyle B}$  es un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales ${\displaystyle P(B|A_{i})}$  entonces la probabilidad ${\displaystyle P(A_{i}|B)}$  viene dada por la expresión:

${\displaystyle P(A_{i}|B)={\frac {P(B|A_{i})P(A_{i})}{P(B)}}}$ 

donde:

• ${\displaystyle P(A_{i})}$  son las probabilidades a priori,
• ${\displaystyle P(B|A_{i})}$  es la probabilidad de ${\displaystyle B}$  en la hipótesis ${\displaystyle A_{i}}$ ,
• ${\displaystyle P(A_{i}|B)}$  son las probabilidades a posteriori.

Fórmula de Bayes

 

La visualización del teorema de Bayes por la superposición de dos árboles de decisión

Con base en la definición de probabilidad condicionada se obtiene la Fórmula de Bayes, también conocida como Regla de Bayes:

${\displaystyle P(A_{i}|B)={\frac {P(B|A_{i})P(A_{i})}{\sum _{k=1}^{n}P(B|A_{k})P(A_{k})}}\cdots [1]}$ 

Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad condicional ${\displaystyle P(A_{i}|B)}$  de cualquiera de los eventos ${\displaystyle A_{i}}$  dado ${\displaystyle B}$ . La fórmula ${\displaystyle [1]}$  «ha originado muchas especulaciones filosóficas y controversias».^[3]​

Aplicaciones

El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional solo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso. Otra aplicación se encuentra en la fusión de datos, combinando información expresada en términos de densidad de probabilidad proveniente de distintos sensores.

Como observación, se obtiene la siguiente fórmula ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}P(A_{i}|B)=1}$  y su demostración resulta trivial.

Como aplicaciones puntuales:

1. El diagnóstico de cáncer.
2. Evaluación de probabilidades durante el desarrollo de un juego de bridge por Dan F. Waugh y Frederick V. Waugh.
3. Probabilidades a priori y a posteriori.
4. Un uso controvertido en la Ley de sucesión de Laplace.^[3]​
5. En el testeo de hipótesis en Ciencia Política cuando se usa metodología process tracing.

Véase también

• Paradoja del cuervo
• Inferencia bayesiana

Enlaces externos

• Calculadora en internet
• , en la web de la Sociedad Andaluza de Enfermedades Infecciosas
• Enciclopedia Stanford de filosofía
• Simulación del Teorema de Bayes con R-Project
• Teorema de Bayes y Probabilidad Condicional A Posteriori
• What Is Bayes’ Theorem & How Do You Use It? por Richard Carrier

Referencias

1. Diccionarios Oxford-Complutense. Matemáticas de Christopher Clapham 84-89784-566
2. Bayes, Thomas (1763). «An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances.». Philosophical Transactions of the Royal Society of London 53: 370-418. doi:10.1098/rstl.1763.0053. 
3. Parzen, Emanuel. Teoría moderna de probabilidades y sus aplicaciones. Limusa Grupo Noriega Editores. ISBN 978-9681-807351. 

•   Datos: Q182505
•   Multimedia: Bayes' theorem