Teoría ergódica

La teoría ergódica se dedica principalmente al estudio matemático del comportamiento promedio a largo plazo de los sistemas dinámicos.

En matemáticas, una transformación ${\displaystyle T}$ que preserva la medida en un espacio medible se dice que es ergódica si todo conjunto medible que es invariante bajo la transformación ${\displaystyle T}$, tiene medida 0 o 1.

Un antiguo término para esta propiedad era métricamente transitivo. Existen dos teoremas fundamentales en la teoría ergódica, el de Birkhoff y el de John von Neumann; se cree que aunque el de Birkhoff se publicó con anterioridad, el de von Neumann se demostró antes. El teorema de von Neumann refiere a convergencia en L1, mientras que el de Birkhoff refiere a convergencia puntual.

Teorema ergódico de Birkhoff

Este teorema relaciona el promedio temporal y el promedio en el espacio de una función. Para ello es necesario definir previamente dichos conceptos:

• Considere el promedio en el tiempo de una función f de "buen-comportamiento" (well-behaved), definido como el promedio (si existe) sobre iteraciones de ${\displaystyle T}$  empezando en algún punto inicial ${\displaystyle x_{0}}$ :

${\displaystyle {\hat {f}}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(T^{k}x\right)}$ 

• Considere también el promedio en el espacio de f, que se define como:

${\displaystyle {\bar {f}}=\int f\,d\mu }$ 

donde μ es una medida en el espacio de probabilidad.

En general, el promedio en el tiempo y el promedio en el espacio no son necesariamente iguales.

Pero si la transformación es ergódica, y la medida es invariante, entonces el promedio en el tiempo es igual al promedio en el espacio excepto quizá para un conjunto de medida 0. Éste es el famoso Teorema ergódico en forma abstracta, elaborado por George David Birkhoff.

El Teorema de Weyl es un caso especial del Teorema ergódico, que se basa en la distribución de probabilidad en el intervalo unitario [0,1].

Referencias históricas

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• von Neumann, John (1932), «Physical Applications of the Ergodic Hypothesis», Proc Natl Acad Sci USA 18 (3): 263-266, Bibcode:1932PNAS...18..263N, JSTOR 86260, PMC 1076204, PMID 16587674, doi:10.1073/pnas.18.3.263 ..
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Referencias actuales

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• Carlo Sempi (2005): (Quaderni del Dipartimento di Matematica dell'Università di Lecce) (en italiano)

•   Datos: Q5498822