Una tautócrona o curva isócrona (de los prefijos griegos tauto- que significa mismo o iso- igual, y chrono tiempo) es la curva para la cual el tiempo tomado por un objeto que desliza sin rozamento en gravedad uniforme hasta su punto más bajo es independiente de su punto de partida. Esta curva es una cicloide, y su tiempo viene determinado por la siguiente fórmula:
Cuatro puntos deslizan sobre una cicloide desde diferentes posiciones, pero llegan al final al mismo tiempo. Las flechas azules muestran la aceleración de los puntos a lo largo de la curva. Arriba se observa el diagrama tiempo-posición
Objeto que representa la curva tautócrona
El problema de la tautócrona
El intento de identificar la curva de la tautócrona fue resuelto por Christiaan Huygens en 1659. Demostró geométricamente en su Horologium Oscillatorium, originalmente publicado en 1673, que la curva es un cicloide.
En una cicloide cuyo eje se eleva sobre la perpendicular y cuyo vértice está localizado en el fondo, el tiempo de descenso en el cual un cuerpo llega al punto más bajo, al vértice, después de haber partido desde cualquier punto de la cicloide, es igual a cualquier otro…
Huygens también demostró que el tiempo de descenso es igual al tiempo que tarda un cuerpo en caer verticalmente la misma distancia (el diámetro del círculo que genera la cicloide) multiplicado por π⁄2. En términos modernos, esto significa que el tiempo de descenso es , donde r es el radio del círculo que genera el cicloide y g es la gravedad.
Esta solución fue posteriormente utilizada para abordar el problema de la curva braquistócrona. Jakob Bernoulli resolvió el problema usando el cálculo en un artículo (Acta Eruditorum, 1690) que fue el primer artículo publicado usando la palabra integral.
Esquema de un péndulo cicloidal.
El problema de la tautócrona fue estudiado con más detenimiento cuando se observó que un péndulo, que describe una trayectoria circular, no era isócrono y por tanto, su reloj de péndulo mediría diferentes tiempos según lo grande que fuese la oscilación. Después de determinar la trayectoria correcta, Christiaan Huygens intentó crear un reloj de péndulo que usase una cuerda para suspender el peso del péndulo cerca de lo alto de la cadena para cambiar la trayectoria al de una curva tautócrona. Estos intentos demostraron no ser útiles por una serie de razones. Primero, la curvatura de la cadena causa fricción, lo cual altera el periodo. Segundo, había muchas más fuentes de error en la medición del tiempo (anulando cualquier mejora teórica) que ayudas proporcionaba la tautócrona. Finalmente, el "error circular" de un péndulo decrece conforme decrece la longitud de la oscilación. Así que mejores escapes de reloj podrían reducir significativamente esta fuente de imprecisión.
Representación esquemática de cinco péndulos cicloidales isócronos, es decir que poseen la misma frecuencia independientemente de sus amplitudes.
Blackwell, Richard J. (1986). Christiaan Huygens' The Pendulum Clock. Ames, Iowa: Iowa State University Press. ISBN0-8138-0933-9. Part II, Proposition XXV, p. 69
Datos:Q3284444
Multimedia:Tautochrone curves
Agosto 11, 2021
tautócrona, tautócrona, curva, isócrona, prefijos, griegos, tauto, significa, mismo, igual, chrono, tiempo, curva, para, cual, tiempo, tomado, objeto, desliza, rozamento, gravedad, uniforme, hasta, punto, más, bajo, independiente, punto, partida, esta, curva, . Una tautocrona o curva isocrona de los prefijos griegos tauto que significa mismo o iso igual y chrono tiempo es la curva para la cual el tiempo tomado por un objeto que desliza sin rozamento en gravedad uniforme hasta su punto mas bajo es independiente de su punto de partida Esta curva es una cicloide y su tiempo viene determinado por la siguiente formula Cuatro puntos deslizan sobre una cicloide desde diferentes posiciones pero llegan al final al mismo tiempo Las flechas azules muestran la aceleracion de los puntos a lo largo de la curva Arriba se observa el diagrama tiempo posicion Objeto que representa la curva tautocrona t p r g displaystyle t pi sqrt frac r g El problema de la tautocrona EditarEl intento de identificar la curva de la tautocrona fue resuelto por Christiaan Huygens en 1659 Demostro geometricamente en su Horologium Oscillatorium originalmente publicado en 1673 que la curva es un cicloide En una cicloide cuyo eje se eleva sobre la perpendicular y cuyo vertice esta localizado en el fondo el tiempo de descenso en el cual un cuerpo llega al punto mas bajo al vertice despues de haber partido desde cualquier punto de la cicloide es igual a cualquier otro Christiaan Huygens 1 Huygens tambien demostro que el tiempo de descenso es igual al tiempo que tarda un cuerpo en caer verticalmente la misma distancia el diametro del circulo que genera la cicloide multiplicado por p 2 En terminos modernos esto significa que el tiempo de descenso es p r g displaystyle pi sqrt r g donde r es el radio del circulo que genera el cicloide y g es la gravedad Esta solucion fue posteriormente utilizada para abordar el problema de la curva braquistocrona Jakob Bernoulli resolvio el problema usando el calculo en un articulo Acta Eruditorum 1690 que fue el primer articulo publicado usando la palabra integral Esquema de un pendulo cicloidal El problema de la tautocrona fue estudiado con mas detenimiento cuando se observo que un pendulo que describe una trayectoria circular no era isocrono y por tanto su reloj de pendulo mediria diferentes tiempos segun lo grande que fuese la oscilacion Despues de determinar la trayectoria correcta Christiaan Huygens intento crear un reloj de pendulo que usase una cuerda para suspender el peso del pendulo cerca de lo alto de la cadena para cambiar la trayectoria al de una curva tautocrona Estos intentos demostraron no ser utiles por una serie de razones Primero la curvatura de la cadena causa friccion lo cual altera el periodo Segundo habia muchas mas fuentes de error en la medicion del tiempo anulando cualquier mejora teorica que ayudas proporcionaba la tautocrona Finalmente el error circular de un pendulo decrece conforme decrece la longitud de la oscilacion Asi que mejores escapes de reloj podrian reducir significativamente esta fuente de imprecision Representacion esquematica de cinco pendulos cicloidales isocronos es decir que poseen la misma frecuencia independientemente de sus amplitudes Posteriormente Joseph Louis Lagrange y Leonhard Euler proporcionaron una solucion analitica al problema Referencias Editar Blackwell Richard J 1986 Christiaan Huygens The Pendulum Clock Ames Iowa Iowa State University Press ISBN 0 8138 0933 9 Part II Proposition XXV p 69 Datos Q3284444 Multimedia Tautochrone curvesObtenido de https es wikipedia org w index php title Tautocrona amp oldid 128376368, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
