Curva braquistócrona

Una curva braquistócrona (gr. βράχιστος brachistos 'el más corto', χρόνος chronos 'intervalo de tiempo'), o curva del descenso más rápido, es la curva entre dos puntos que es recorrida en menor tiempo por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero, y que debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. En la solución del problema intervinieron entre otros Johann y Jacobo Bernoulli, Leibniz, L'Hôpital, Newton y Tschirnhaus.^[1]​

Esquema de una curva braquistócrona.

Comparación entre una trayectoria braquistócrona, y otras dos trayectorias posibles.

En 1696, Jakob Bernoulli y Johann Bernoulli resolvieron el problema de la braquistócrona, el primer resultado en el cálculo de variaciones.

La braquistócrona es la cicloide

 

Dispositivo experimental del siglo XVIII de Sigaud de Lafond para comprobar la minimalidad del tiempo de trayecto según una curva cicloide.

Dados dos puntos A y B, con A a una elevación mayor que B, existe solo una curva cicloide con la concavidad hacia arriba que pasa por A con pendiente infinita (dirección vertical y sentido de arriba hacia abajo), también pasa por B y no posee puntos máximos entre A y B. Esta particular cicloide invertida es una curva braquistócrona. La curva no depende de la masa del cuerpo o del valor de la constante gravitacional.

El problema puede ser resuelto utilizando los algoritmos del cálculo variacional.

Si al cuerpo se le da una velocidad inicial en A, o si se toma en cuenta el efecto de la fricción, la curva que minimiza el tiempo de tránsito será distinta de la descrita en los párrafos precedentes.

Demostración

La conservación de la energía requiere que la velocidad de un cuerpo en un campo gravitatorio uniforme venga dada por:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=mgy\rightarrow v={\sqrt {2gy}}}$ 

donde y representa la altura vertical desde la que ha caído el cuerpo. Por otra parte el espacio recorrido viene dado por:

${\displaystyle s=\int _{x_{a}}^{x_{b}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\ dx}$ 

De la ecuación diferencial que da la velocidad se sigue que el tiempo entre los puntos a y b viene dado por:

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle \Delta t={\mathcal {T}}[y(x)]=\int _{s_{a}}^{s_{b}}{\cfrac {ds}{v}}=\int _{x_{a}}^{x_{b}}{\cfrac {\sqrt {1+y'(x)^{2}}}{{\sqrt {2g}}{\sqrt {y(x)}}}}dx=\int _{x_{a}}^{x_{b}}f(y(x),y'(x))\ dx\\f(y,y'):={\cfrac {\sqrt {1+y'^{2}}}{{\sqrt {2g}}{\sqrt {y}}}}\end{cases}}}$ 

Como la curva que hace mínimo el funcional anterior satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange, se tiene:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)=0}$ 

Como la función f no depende explícitamente de x, entonces:

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=0={\frac {\partial f}{\partial y'}}{\frac {dy'}{dx}}}$ ,

luego, podemos multiplicar dy/dx a la ecuación de Euler-Lagrange y restarle la anterior expresión sin modificar nada, así se tiene:

${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)\right){\frac {dy}{dx}}-{\frac {\partial f}{\partial y'}}{\frac {dy'}{dx}}=0}$ ,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right){\frac {dy}{dx}}-{\frac {\partial f}{\partial y'}}{\frac {dy'}{dx}}=0}$ ,

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}-{\frac {d}{dx}}\left(y'{\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)=0}$ ,

la ecuación anterior es equivalente a:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f-y'{\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)=0}$ .

Es decir la solución para el problema de la braquistócrona es una curva tal que:

${\displaystyle f-y'{\frac {\partial f}{\partial y'}}=C={\mbox{cte.}}\quad \Rightarrow \qquad {\frac {1}{{\sqrt {2gy}}{\sqrt {1+y'^{2}}}}}=C}$ 

Esta ecuación se puede reescribir como:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2gC^{2}y}}-1}}}$ 

Se puede ver que la curva cicloide definida paramétricamente como:

${\displaystyle {\begin{cases}x={\cfrac {1}{4gC^{2}}}(\theta -\sin \theta )\\y={\cfrac {1}{4gC^{2}}}(1-\cos \theta )\end{cases}}}$ 

Satisface la ecuación anterior con ${\displaystyle \scriptstyle y(0)=0}$ , ya que:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{d\theta }}{\frac {dx}{d\theta }}}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}={\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}={\sqrt {{\frac {1}{2gC^{2}y}}-1}}}$ 

Propiedades

La curva braquistócrona coincide además con una curva tautócrona. Una curva plana se dice tautócrona si dada una colección de puntos materiales que se mueven a lo largo de ella impulsados por la gravedad, empezando a la vez desde el reposo pero desde puntos diferentes, acaban encontrándose simultáneamente en un mismo punto de la curva, es decir, tardan el mismo tiempo en alcanzar una cierta posición.

Curiosidades

Según el principio de Fermat: La trayectoria seguida por un haz de luz entre dos puntos es aquella que resulta en el menor tiempo de viaje. Por tanto la curva braquistócrona sería simplemente la trayectoria de un haz de luz donde la velocidad luz se incrementa con una aceleración vertical (la de la gravedad).

Generalizaciones

Inclusión de rozamiento

 

Solución del problema de la braquistócrona con rozamiento: cicloide modificada. Las posiciones inicial y final corresponden a un punto de velocidad cero, el segundo más bajo debido a las pérdidas de rozamiento.

El estudio de la braquistócrona para una partícula que se mueve sin fricción es una cicloide, puede probarse que para una partícula que se mueve con fricción, el problema de la braquistócrona puede resolverse también analíticamente.^[2]​ En este caso el funcional que debe minimizarse es:

${\displaystyle \Delta t_{\mu }={\mathcal {T}}_{\mu }[y(x)]=\int _{s_{a}}^{s_{b}}{\frac {ds}{v}}=\int _{x_{a}}^{x_{b}}{\frac {\sqrt {1+y'(x)^{2}}}{{\sqrt {2g}}{\sqrt {y(x)-\mu x}}}}dx}$ 

En este caso la solución viene dada por:

${\displaystyle {\begin{cases}x={\cfrac {1}{4gC^{2}}}[(\theta -\sin \theta )-\mu (1-\cos \theta )]\\y={\cfrac {1}{4gC^{2}}}[(1-\cos \theta )-\mu (\theta -\sin \theta )]\end{cases}}}$ 

Movimiento sobre superficies

El problema de la braquistócrona usualmente se plantea en un plano vertical que contiene al vector tangente a la curva y a la dirección de la gravedad, pero el problema también ha sido planteado y resuelto cuando el movimiento de la partícula está confinado a una superficie curva como un cono o una esfera.

Véase también

• Cálculo variacional
• Identidad de Beltrami
• Cicloide
• Curva tautócrona
• Catenaria
• Movimiento uniformemente acelerado

Referencias

1. Hofmann: Historia de la matemática ISBN 968-18-6286-4
2. Brachistochrone with friction (Wolfram Math)

Enlaces externos

• Ferréol, Robert; Mandonnet, Jacques (2009). «courbe brachistochrone». Encyclopédie des formes mathématiques remarquables (en francés). 
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «The brachistochrone problem» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Brachistochrone.html .
• Weisstein, Eric W. «Brachistochrone Problem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• La braquistocrona, Whistler Alley Mathematics.
• Brachistócronas por Michael Trott y Brachistochrone Problem por Okay Arik, Wolfram Demonstrations Project.

•   Datos: Q529985
•   Multimedia: Brachistochrone