Espacio sucesionalmente compacto

En matemáticas, un espacio topológico es sucesionalmente compacto si toda sucesión infinita tiene una subsucesión convergente. Mientras que la compacidad es equivalente a la compacidad sucesional en espacios métricos, las nociones de compacidad y compacidad sucesional no son equivalentes en espacios topológicos generales. Un espacio métrico es (sucesionalmente) compacto si toda sucesión tiene una subsucesión convergente que converge a un punto en X.

Ejemplos y propiedades

El espacio de los números reales con la topología estándar no es sucesionalmente compacto, la sucesión (s_n = n) para todo número natural n es una sucesión que no tiene ninguna subsucesión convergente.

Si un espacio es un espacio métrico, entonces es sucesionalmente compacto si y solo si es compacto.^[1]​ Sin embargo, en general existen espacios sucesionalmente compactos que no son compactos (como el primer ordinal no numerable con la topología del orden), y espacios compactos que no son sucesionalmente compactos (como el producto de ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$  copias del intervalo unidad cerrado).^[2]​

Nociones relacionadas

• Se dice que un espacio topológico X es compacto de punto límite si todo subconjunto infinito de X tiene un punto límite en X.
• Un espacio topológico es numerablemente compacto si todo recubrimiento abierto numerable tiene un subrecubrimiento finito.

En un espacio métrico, las nociones de compacidad sucesional, compacidad de punto límite, compacidad numerable y compacidad son equivalentes.

En un espacio sucesional (de Hausdorff) la compacidad sucesional es equivalente a la compacidad numerable.^[3]​

También existe una noción de compactificación sucesional a un punto. La idea es que las sucesiones no convergente deben converger a un punto añadido.^[4]​

Véase también

• Teorema de Bolzano-Weierstrass
• Teorema de Eberlein-Šmulian

Referencias

1. Willard, 17G, p. 125.
2. Steen and Seebach, Example 105, pp. 125—126.
3. Engelking, General Topology, Theorem 3.10.31
   K.P. Hart, Jun-iti Nagata, J.E. Vaughan (editors), Encyclopedia of General Topology, Chapter d3 (by P. Simon)
4. Brown, Ronald, "Sequentially proper maps and a sequential compactification", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.

Bibliografía

• Munkres, James (1999). Topology (2nd edición). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
• Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6. 

•   Datos: Q1135427