Subespacio invariante

En álgebra lineal, un subespacio invariante es un subespacio vectorial que contiene las transformadas de sus vectores, dada la aplicación lineal correspondiente.

Gráfica de dos vectores y sus respectivas transformaciones mediante una rotación respecto al eje z. El vector contenido en el plano xy (amarillo) tiene una transformada (verde) en el mismo plano

Si se tienen un subespacio S y una aplicación f, de manera que las transformadas de los vectores de S a través de f pertenecen al mismo S, se dice que el subespacio S es f-invariante, o invariante por f.^[1]​

Definición

Sea ${\displaystyle \mathbb {V} }$  un conjunto de vectores sobre el cual está definida una estructura de espacio vectorial. Dado un endomorfismo ${\displaystyle f:\mathbb {V} \to \mathbb {V} }$  se dice que

Un subespacio ${\displaystyle S}$  de ${\displaystyle \mathbb {V} }$  es un subespacio invariante por ${\displaystyle f}$  (o f-invariante) si para todo vector ${\displaystyle \mathbf {s} \in S}$  se cumple que ${\displaystyle f(\mathbf {s} )\in S}$ .

En otras palabras, ${\displaystyle S}$  es un subespacio invariante si ${\displaystyle f(S)\subseteq S}$ .^[2]​

Ejemplos

• Consideremos ${\displaystyle \mathbb {V} =\mathbb {R} ^{3}}$  y f una aplicación lineal que rota un vector dado alrededor del eje z. Notemos que el plano xy (llamémoslo ${\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:z=0\}}$ ) es un subespacio de ${\displaystyle \mathbb {V} }$ .

Al rotar un vector cualquiera de este plano alrededor del eje z se obtiene otro vector en el mismo plano. Es decir que para todo ${\displaystyle \mathbf {s} \in S}$  se tiene que ${\displaystyle f(\mathbf {s} )\in S}$ , o bien, si transformamos cualquier vector contenido en xy obtenemos otro vector también contenido en este plano. Por lo tanto, el plano S es f-invariante.

• El núcleo de una aplicación lineal f es un subespacio f-invariante.

Demostración

Si definimos ${\displaystyle f:\mathbb {V} \to \mathbb {V} }$  entonces su núcleo está dado por el conjunto ${\displaystyle \mathrm {Ker} (f)=\{\mathbf {v} \in \mathbb {V} :f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \}}$  donde 0 es el vector nulo definido en ${\displaystyle \mathbb {V} }$ . Para toda aplicación lineal se cumple que ${\displaystyle f(\mathbf {0} )=\mathbf {0} }$ , entonces ${\displaystyle \mathbf {0} \in \mathrm {Ker} (f)}$ , como ${\displaystyle \mathbf {0} =f(\mathbf {0} )\Longrightarrow f(\mathbf {0} )\in \mathrm {Ker} (f)}$  y ${\displaystyle \mathrm {Ker} (f)}$  es f-invariante ya que toda imagen de un vector del núcleo también pertenece a él.

• La imagen de una aplicación lineal también es un subespacio invariante frente la aplicación en cuestión.

Demostración

Sea f un endomorfismo. Podría ocurrir que todo vector de la imagen tuviera a su vez una transformada, en cuyo caso ${\displaystyle f{\big (}\mathrm {Im} (f){\big )}=\mathrm {Im} (f)}$  y concluiría la demostración. No obstante, podría ser que sólo algunos vectores tuvieran imagen. Veamos que es imposible que, en un endomorfismo, ninguno la tenga, puesto que el vector nulo siempre tiene como imagen al vector nulo, por lo tanto pertenece a la imagen de f y a su vez podemos volver a aplicar f al vector de la imagen para obtener cero nuevamente. Como ${\displaystyle \mathbf {0} \in \mathrm {Im} (f)\Longrightarrow \{\mathbf {0} \}\subset \mathrm {Im} (f)}$ . Conclusión: ${\displaystyle f{\big (}\mathrm {Im} (f){\big )}\subseteq \mathrm {Im} (f)}$  y queda demostrado que ${\displaystyle \mathrm {Im} (f)}$  es f-invariante.

• Consideremos ahora una aplicación lineal f con un vector propio v. El subespacio generado por v es un subespacio f-invariante.

Demostración

Se puede comprobar que el conjunto ${\displaystyle S_{\lambda }=\{\mathbf {v} \in \mathbb {V} :f(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,\ \lambda \in \mathbb {K} \}}$  (con ${\displaystyle \mathbb {K} }$  el cuerpo sobre el cual están definidos los escalares en ${\displaystyle \mathbb {V} }$ ) es un subespacio de ${\displaystyle \mathbb {V} }$  (basta con comprobar que el elemento neutro e inverso para la suma, así como la suma de dos vectores y el producto de un vector por un escalar están contenidos en ${\displaystyle S_{\lambda }}$ ). Este conjunto se llama espacio propio asociado al autovalor ${\displaystyle \lambda }$ . Es simple demostrar que es invariante, ya que para todo ${\displaystyle \mathbf {v} \in S_{\lambda }}$  su transformada ${\displaystyle T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} \in S_{\lambda }}$ , basta ver que ${\displaystyle T(\lambda \mathbf {v} )=\lambda T(\mathbf {v} )=\lambda \cdot (\lambda \mathbf {v} )}$ . En conclusión, todo autovector transformado también es autovector y, por lo tanto, el espacio ${\displaystyle S_{\lambda }}$  que generan es invariante.

• Vamos a un ejemplo más concreto, consideremos la transformación lineal ${\displaystyle T:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$  definida como T(x)=A x donde ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&3\\0&-4&5\end{bmatrix}}}$  entonces el subespacio generado por el vector (1,0,0) es un subespacio invariante frente a T, ya que el vector mencionado es un autovector de T (está asociado al autovalor 1, se ve que ${\displaystyle T\left({\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}}\right)}$  ).
• Generalizando el ejemplo anterior, dada la Forma canónica de Jordan de una transformación lineal, cada uno de los subespacios asociados a los bloques de Jordan son subespacios invariantes frente a la transformación en cuestión.

Simetrías

• Consideremos el plano R² y la transformación lineal que a cada vector de dicho plano le asigna su reflexión respecto al eje y, es decir T(x,y)=(-x,y). El subespacio generado por el vector (1,0) es T-invariante, mientras que (1,1) no.
• Consideremos el plano R² y la transformación lineal que a cada vector de dicho plano le asigna la reflexión respecto al origen de coordenadas, es decir T(x,y)=(-x,-y). Entonces todo subespacio de R² es invariante frente a dicha reflexión.

Observación

Notemos que la palabra «invariante» puede generar confusión en el siguiente sentido: un subespacio puede ser invariante y sin embargo «variar» bajo la transformación en cuestión. Esto es posible dado que la condición para que el subespacio sea invariante es ${\displaystyle T(S)\subseteq S}$  y no ${\displaystyle T(S)=S}$ .

Referencias

1. Raya, Andrés; Rubio, Rafael. Álgebra y geometría lineal (2007 edición). Reverte. p. 299. ISBN 9788429150384.  |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)
2. Castellet, Manuel; Llerena, Irener (1996). Álgebra lineal y geometría. Reverte. p. 159. ISBN 9788429150094.  |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)

Véase también

• Forma canónica de Jordan
• Vector propio y valor propio
• Problema del subespacio invariante

•   Datos: Q2706744