Sin pérdida de generalidad es una expresión utilizada en las demostraciones matemáticas y que introduce una suposición particular, de tal manera que el caso general pueda mostrarse que es equivalente a ese caso particular. Cuando esto sucede, dicha suposición o elección particular es irrelevante para la demostración, y presenta la ventaja de que permite reducir la extensión de la demostración reduciendo el número de casos que hay que analizar.
A veces es recomendable indicar por qué no existe pérdida de generalidad. Por ejemplo, si una función es simétrica o periódica puede ser más fácil analizarla en un intervalo más pequeño. Asimismo, cuando varias variables tienen un papel similar, a veces no hace falta trabajar con todas sino que basta con trabajar con una de ellas o con unas pocas.
Hay tres manzanas, cada una de las cuales puede ser verde o roja. Demuéstrese que, al menos, hay dos manzanas del mismo color.
Demostración: supóngase sin pérdida de generalidad que la primera manzana es roja. Si la segunda manzana también lo es, hemos terminado; en caso contrario (la manzana es verde), la tercera manzana será o roja o verde, con lo que tendremos necesariamente ya sea dos manzanas rojas o verdes, y también habremos terminado.
Podemos suponer sin pérdida de generalidad que la primera manzana es roja porque no hay ninguna diferencia entre que sea roja o verde para el objetivo de la demostración. Si fuera verde no habría más que cambiar los nombres de los dos colores en la demostración, y los nombres de los colores no importan ya que la demostración es igualmente correcta si cambiamos "rojo" por "verde" y viceversa.
Ejemplo
Otras veces hay que trabajar más para ver cómo el caso general se deduce del caso particular. Por ejemplo, una demostración de que los tres ángulos de un triángulo suman un ángulo llano es la siguiente:
Podemos suponer que el triángulo es rectángulo, y se trata entonces de ver que sus otros dos ángulos (digamos a y b) suman un ángulo recto. Trazando paralelas a los catetos por los vértices se obtiene un rectángulo en el que se observa que a+b es recto.
¿Por qué se puede suponer eso? Porque el caso general de un triángulo arbitrario podemos deducirlo usando el "caso rectángulo" como sigue: Llamamos "a" al ángulo mayor y "b", "c" a los otros dos. Trazamos la altura del triángulo por el ángulo a, que lo divide en dos ángulos a1 y a2 (con a1+a2=a). Tenemos dos triángulos rectángulos. Uno de ellos tiene un ángulo recto, otro vale b y otro a1, de modo que b+a1=recto. El otro tiene un ángulo recto, otro vale c y otro vale a2, de modo que c+a2=recto. Los ángulos del triángulo inicial suman entonces: a+b+c = (a1+a2)+b+c = (b+a1)+(c+a2) = recto+recto = llano
Datos:Q162252
Agosto 15, 2021
pérdida, generalidad, expresión, utilizada, demostraciones, matemáticas, introduce, suposición, particular, manera, caso, general, pueda, mostrarse, equivalente, caso, particular, cuando, esto, sucede, dicha, suposición, elección, particular, irrelevante, para. Sin perdida de generalidad es una expresion utilizada en las demostraciones matematicas y que introduce una suposicion particular de tal manera que el caso general pueda mostrarse que es equivalente a ese caso particular Cuando esto sucede dicha suposicion o eleccion particular es irrelevante para la demostracion y presenta la ventaja de que permite reducir la extension de la demostracion reduciendo el numero de casos que hay que analizar A veces es recomendable indicar por que no existe perdida de generalidad Por ejemplo si una funcion es simetrica o periodica puede ser mas facil analizarla en un intervalo mas pequeno Asimismo cuando varias variables tienen un papel similar a veces no hace falta trabajar con todas sino que basta con trabajar con una de ellas o con unas pocas Ejemplo EditarEste es un ejemplo clasico del uso del principio del palomar Hay tres manzanas cada una de las cuales puede ser verde o roja Demuestrese que al menos hay dos manzanas del mismo color Demostracion supongase sin perdida de generalidad que la primera manzana es roja Si la segunda manzana tambien lo es hemos terminado en caso contrario la manzana es verde la tercera manzana sera o roja o verde con lo que tendremos necesariamente ya sea dos manzanas rojas o verdes y tambien habremos terminado Podemos suponer sin perdida de generalidad que la primera manzana es roja porque no hay ninguna diferencia entre que sea roja o verde para el objetivo de la demostracion Si fuera verde no habria mas que cambiar los nombres de los dos colores en la demostracion y los nombres de los colores no importan ya que la demostracion es igualmente correcta si cambiamos rojo por verde y viceversa Ejemplo EditarOtras veces hay que trabajar mas para ver como el caso general se deduce del caso particular Por ejemplo una demostracion de que los tres angulos de un triangulo suman un angulo llano es la siguiente Podemos suponer que el triangulo es rectangulo y se trata entonces de ver que sus otros dos angulos digamos a y b suman un angulo recto Trazando paralelas a los catetos por los vertices se obtiene un rectangulo en el que se observa que a b es recto Por que se puede suponer eso Porque el caso general de un triangulo arbitrario podemos deducirlo usando el caso rectangulo como sigue Llamamos a al angulo mayor y b c a los otros dos Trazamos la altura del triangulo por el angulo a que lo divide en dos angulos a1 y a2 con a1 a2 a Tenemos dos triangulos rectangulos Uno de ellos tiene un angulo recto otro vale b y otro a1 de modo que b a1 recto El otro tiene un angulo recto otro vale c y otro vale a2 de modo que c a2 recto Los angulos del triangulo inicial suman entonces a b c a1 a2 b c b a1 c a2 recto recto llano Datos Q162252Obtenido de https es wikipedia org w index php title Sin perdida de generalidad amp oldid 122967032, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
