Serie de Grandi
La serie infinita 1 − 1 + 1 − 1 + · · · es a veces llamada serie de Grandi, en honor al matemático, filósofo y sacerdote italiano Luigi Guido Grandi, quien en 1703 realizó trabajos destacados sobre esta serie. Es una serie divergente, lo que implica que no posee suma en el sentido usual de la misma. Por otra parte, su suma de Cesàro es 1⁄2.
Su notación en forma de sumatorio es:
Heurística
Un método obvio con el que se puede atacar la serie
- 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
es tratarla como una serie telescópica y realizar las restas que resultan:
- (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 0 + 0 + 0 + · · · = 0.
Por otra parte, un procedimiento de agrupamiento similar conduce a un resultado aparentemente contradictorio
- 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1 + 0 + 0 + 0 + · · · = 1.
Según la forma en que se ubiquen paréntesis sobre la serie de Grandi, es posible obtener un "valor" 0 o 1. Utilizando álgebra se puede obtener un tercer valor. Escribiendo
- S = 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·,
entonces
- 1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + · · ·) = S, por lo tanto S = 1⁄2.
Se llega a la misma conclusión si se calcula −S, restando el resultado de S, y resolviendo 2S = 1.[1]
Las manipulaciones indicadas previamente no indican cual es el significado que tiene la suma de la serie. Aun así, considerando que no debería importar la forma en que se ubican los paréntesis en una serie, y que es muy importante poder realizar aritmética con ellas, es que se extraen dos conclusiones:
En efecto, se pueden enunciar y demostrar formalmente estas dos aseveraciones utilizando conceptos matemáticos que fueron desarrollados en el siglo XIX. Tras la introducción del cálculo en Europa hacia finales del siglo XVII, pero antes del advenimiento del rigor moderno, la tensión entre estas dos aseveraciones alimentó una "violenta" e "interminable" disputa entre los matemáticos.[3][4]
No convergencia
La suma de una serie infinita, si es que existe, se define como igual al límite de la secuencia de sus «sumas parciales». La secuencia de las sumas parciales de la serie de Grandi es (1, 0, 1, 0, …) y no «tiende» a ningún número ya que posee dos subsucesiones convergentes. Por lo tanto, la serie de Grandi es no-convergente o es oscilante.
No es correcto realizar operaciones aparentemente inócuas sobre una serie, como reordenar sus términos individuales, a menos que la serie sea absolutamente convergente. De lo contrario estas operaciones pueden modificar el resultado de la suma. Reordenando los términos de la serie de Grandi se obtiene cualquier número entero (no solo el 0 o el 1).
Notas
- ↑ Devlin p.77
- ↑ Davis p.152
- Kline 1983 p.307
- Knopp p.457
Referencias
- Davis, Harry F. (mayo de 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9.
- Devlin, Keith (1994). Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe. Scientific American Library. ISBN 0-7167-6022-3.
- Kline, Morris (noviembre de 1983). «Euler and Infinite Series». Mathematics Magazine 56 (5): 307-314.
- Knopp, Konrad (1990) [1922]. Theory and Application of Infinite Series. Dover. ISBN 0-486-66165-2.
- E. W. Hobson, The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier's series (Cambridge University Press, 1907), section 331. The University of Michigan Historical Mathematics Collection [1]
- E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis, 4th edition, reprinted (Cambridge University Press, 1962), section 2.1.