Seminorma

Una seminorma es una generalización del concepto de norma vectorial que se define a partir de un producto escalar el cual no es definido positivo o se dice que es semiescalar.

Definición

Sea V un espacio vectorial real. Llamamos producto semiescalar sobre ${\displaystyle V\times V}$  al mapeo ${\displaystyle \{x,y\}\in V\times V\to ((x,y))\in R}$  tal que satisface las siguientes condiciones

i. ${\displaystyle ((\sum _{i=1}^{n}\lambda ^{i}x_{i},y))=\sum _{i=1}^{n}\lambda ^{i}((x_{i},y))}$ , linealidad respecto a ${\displaystyle x}$ 

ii. ${\displaystyle ((x,\sum _{j=1}^{m}\mu ^{j}y_{j}))=\sum _{j=1}^{m}\mu ^{j}((x,y_{j}))}$ , linealidad respecto a ${\displaystyle y}$ 

iii. ${\displaystyle ((x,y))=((y,x))}$ , simetría

iv. ${\displaystyle ((x,x))>=0}$  para toda ${\displaystyle x\in V}$ , positividad.

Si ${\displaystyle ((x,y))}$  es un producto semiescalar entonces ${\displaystyle ||x||={\sqrt {((x,x))}}}$  es una seminorma. Y será una norma si ${\displaystyle ((x,y))}$  es un producto escalar con la condición (iv) ${\displaystyle ((x,x))>0}$ , es decir definida positiva.

Referencias

• Applied Functional Analysis. Second Edition Jean-Pierre Aubin. Wiley Inter-Science.

•   Datos: Q1416088