Segmento circular

En geometría, un segmento circular (o segmento de un círculo) es la porción de un círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Sea R el radio del círculo, θ el ángulo central, c la longitud de la cuerda, s la longitud del arco, h la altura del segmento circular (sagita) , y d la altura de la porción triangular (apotema).

• El radio de tu círculo

es ${\displaystyle R=h+d{\frac {}{}}}$ 

• La longitud del arco es ${\displaystyle s=R\cdot \theta }$, donde ${\displaystyle \theta \,}$ está en radianes.

• La longitud de la cuerda es ${\displaystyle c=2R\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\displaystyle R{\sqrt {2-2\cos \theta }}=R{\sqrt {2\left(1-\cos \theta \right)}}}$

• La altura es ${\displaystyle h=R\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}$

• El ángulo es ${\displaystyle \theta =2\arccos \left({\frac {d}{R}}\right)}$

Área

El área del segmento circular es igual al área del sector circular menos el área de la porción triangular.

${\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2}}-{\frac {R^{2}\sin \theta }{2}}={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}$ 

Si el ángulo está en radianes.

Área en función de una altura ${\displaystyle h_{L}}$  en caso de un cilindro horizontal con un nivel de agua ${\displaystyle h_{L}}$ :

${\displaystyle d=-h_{L}+R}$ 

${\displaystyle \theta =2\arccos \left({\frac {-h_{L}+R}{R}}\right)=2\arccos \left(1-{\frac {h_{L}}{R}}\right)}$ 

Demostración alternativa

El área del sector circular es: ${\displaystyle A=\pi R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {R^{2}\cdot \theta }{2}}}$ 

Si se bisecciona el ángulo ${\displaystyle \theta }$ , y por tanto la porción triangular, se obtienen dos triángulos con área total:

${\displaystyle R\sin {\frac {\theta }{2}}\cdot R\cos {\frac {\theta }{2}}=R^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}$ 

Dado que el área del segmento es el área del sector menos el área de la porción triangular, se obtienen

${\displaystyle A=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}$ 

De acuerdo con la identidad trigonométrica de ángulo doble ${\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta \,}$ , por lo tanto:

${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {sen} \theta }$ 

con lo que resulta que el área es:

${\displaystyle A=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {1}{2}}\sin \theta \right)={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}$ 

Véase también

• Sector circular
• Casquete esférico – análogo tridimensional
• Arco
• Sección cónica
• Sección (matemática)

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Segmento circular». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Definición de un segmento circular con animación interactiva (en inglés)
• Fórmula para el área de un segmento circular con animación interactiva (en inglés)

•   Datos: Q783081