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Relación de congruencia (matrices)

En matemáticas la congruencia [1]​ es una relación de equivalencia que se establece entre matrices cuadradas del mismo orden. Se dice que dos matrices A y B, de orden n, son congruentes si existe una matriz regular (que tiene inversa, o determinante distinto de cero), P, llamada también matriz de paso, tal que:

A=PtBP

Donde "t" denota a la matriz traspuesta. Además las matrices congruentes son matrices equivalentes por lo que tienen el mismo rango.

Veamos que es una relación de equivalencia.

- Propiedad Reflexiva: Sea I la matriz identidad del mismo orden que A. Entonces A=ItAI, entonces A es congruente consigo misma.

- Propiedad Simétrica: Sean A y B dos matrices de orden n, congruentes con matriz de paso P. Como A es congruente con B, tenemos que:

A=PtBP

Multiplicando por la inversa de Pt, (P-1)t, ya que las operaciones inversa y traspuesta son conmutativas, por la izquierda a ambos lados de la igualdad, y por la inversa de P, P-1 por la derecha a ambos lados de la igualdad, obtenemos la siguiente igualdad:

(P-1)tAP-1=(P-1)tPtBPP-1

o lo que es lo mismo:

(P-1)tAP-1=B

con lo cual, B es congruente con A con matriz de paso P-1, cuya existencia viene garantizada por hipótesis, ya que es una matriz regular.

- Propiedad Transitiva: Si tenemos dos matrices A y B de orden n, tal que A es congruente con B con matriz de paso P, y dada una tercera matriz C, de orden n, que es congruente con B, con matriz de paso Q, veamos que C es congruente con A.

A=PtBP y B=QtCQ

sustituyendo B de la primera igualdad obtenemos esta nueva igualdad:

A=Pt(QtCQ)P=(QP)tC(QP)

con lo que podemos concluir que A es congruente con C con matriz de paso QP, ya que (QP)t=PtQt

Una propiedad que cumplen las matrices congruentes es que tiene el mismo rango, o lo que es equivalente, el mismo número de filas (columnas) linealmente independientes.

Dada una matriz simétrica y real A puede encontrarse siempre una matriz diagonal D de manera que A y D sean congruentes. A este procedimiento se le denomina diagonalización por congruencia. Además la matriz diagonal puede elegirse de forma que los elementos en la diagonal sean solo 1,-1 o 0.

[2]

Véase también editar

Referencias editar

  1. «Congruencias». Consultado el 21 de junio de 2019. 
  2. Merino, L., Santos, E. Álgebra Lineal con métodos elementales, Ediciones Paraninfo (2006)
  •   Datos: Q377286

relación, congruencia, matrices, este, artículo, sección, necesita, referencias, aparezcan, publicación, acreditada, busca, fuentes, noticias, libros, académico, imágeneseste, aviso, puesto, julio, 2012, matemáticas, congruencia, relación, equivalencia, establ. Este articulo o seccion necesita referencias que aparezcan en una publicacion acreditada Busca fuentes Relacion de congruencia matrices noticias libros academico imagenesEste aviso fue puesto el 3 de julio de 2012 En matematicas la congruencia 1 es una relacion de equivalencia que se establece entre matrices cuadradas del mismo orden Se dice que dos matrices A y B de orden n son congruentes si existe una matriz regular que tiene inversa o determinante distinto de cero P llamada tambien matriz de paso tal que A PtBPDonde t denota a la matriz traspuesta Ademas las matrices congruentes son matrices equivalentes por lo que tienen el mismo rango Veamos que es una relacion de equivalencia Propiedad Reflexiva Sea I la matriz identidad del mismo orden que A Entonces A ItAI entonces A es congruente consigo misma Propiedad Simetrica Sean A y B dos matrices de orden n congruentes con matriz de paso P Como A es congruente con B tenemos que A PtBPMultiplicando por la inversa de Pt P 1 t ya que las operaciones inversa y traspuesta son conmutativas por la izquierda a ambos lados de la igualdad y por la inversa de P P 1 por la derecha a ambos lados de la igualdad obtenemos la siguiente igualdad P 1 tAP 1 P 1 tPtBPP 1o lo que es lo mismo P 1 tAP 1 Bcon lo cual B es congruente con A con matriz de paso P 1 cuya existencia viene garantizada por hipotesis ya que es una matriz regular Propiedad Transitiva Si tenemos dos matrices A y B de orden n tal que A es congruente con B con matriz de paso P y dada una tercera matriz C de orden n que es congruente con B con matriz de paso Q veamos que C es congruente con A A PtBP y B QtCQsustituyendo B de la primera igualdad obtenemos esta nueva igualdad A Pt QtCQ P QP tC QP con lo que podemos concluir que A es congruente con C con matriz de paso QP ya que QP t PtQtUna propiedad que cumplen las matrices congruentes es que tiene el mismo rango o lo que es equivalente el mismo numero de filas columnas linealmente independientes Dada una matriz simetrica y real A puede encontrarse siempre una matriz diagonal D de manera que A y D sean congruentes A este procedimiento se le denomina diagonalizacion por congruencia Ademas la matriz diagonal puede elegirse de forma que los elementos en la diagonal sean solo 1 1 o 0 2 Vease tambien editarMatriz semejanteReferencias editar Congruencias Consultado el 21 de junio de 2019 Merino L Santos E Algebra Lineal con metodos elementales Ediciones Paraninfo 2006 nbsp Datos Q377286 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Relacion de congruencia matrices amp oldid 157828411, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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