Regla de Ruffini

En matemáticas, la regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma ${\displaystyle (x-r)\ }$. Descrita por Paolo Ruffini en 1816, es un caso especial de «división sintética» (una división de polinomios en donde el divisor es un «factor lineal»).^[1]​ El Algoritmo de Horner para la división de polinomios utiliza la regla de Ruffini (también se la conoce como Método de Horner o Algoritmo de Ruffini-Horner). La regla de Ruffini permite así mismo localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma ${\displaystyle (x-r)\ }$ (siendo r un número entero) si es coherente.

Ejemplo de la regla de Ruffini

Historia del método de Ruffini

El método de Ruffini-Horner para la búsqueda de un valor aproximado de la raíz de un polinomio fue publicado, con algunos años de diferencia por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) y por William George Horner (1819-1845, póstumamente); al parecer Horner no tenía conocimiento de los trabajos de Ruffini.

El método de Ruffini-Horner es difícilmente explotable si el polinomio posee dos raíces muy cercanas. Ruffini no evoca esta problemática, pero Horner propone un procedimiento especial para estos casos.^[2]​ El método de Horner fue utilizado por los matemáticos De Morgan y J.R. Young.

En tanto que técnica de cambio de variable, históricamente se encuentran algoritmos parecidos; por ejemplo en China, para la extracción de la raíz n-ésima;^[3]​ en la obra de Al Samaw'al (siglo XII).^[4]​ El matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (siglo XII) fue uno de los primeros en aplicarlo al caso general de una ecuación de tercer grado.^[5]​

Algoritmo resuelto con el método de Ruffini

La regla de Ruffini establece un método para la división del polinomio:

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$ 

entre el binomio:

${\displaystyle Q(x)=x-r\,\!}$ 

para obtener el cociente:

${\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}$ 

y el resto:

${\displaystyle s.\!}$ 

• 1. Se trazan dos líneas a manera de ejes y se escriben los coeficientes de P(x), ordenados y sin omitir términos nulos. Se escribe la raíz r del lado izquierdo (invirtiendo el signo de este) y el primer coeficiente en el renglón inferior (a_n):

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&{}&{}&{}&{}\\\hline {}&b_{n-1}=a_{n}&{}&{}&{}&{}\\\end{array}}}$ 

• 2. Se multiplica (a_n) por r y se escribe debajo de a_n-1:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\\hline {}&b_{n-1}=a_{n}&{}&{}&{}&{}\\\end{array}}}$ 

• 3. Se suman los dos valores obtenidos en la misma columna:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\\hline {}&b_{n-1}=a_{n}&b_{n-2}=a_{n-1}+b_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\\end{array}}}$ 

• 4. El proceso se repite:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\,r&\dots &b_{1}\,r&b_{0}\,r\\\hline {}&b_{n-1}=a_{n}&b_{n-2}=a_{n-1}+b_{n-1}\,r&\dots &b_{0}=a_{1}+b_{1}\,r&s=a_{0}+b_{0}\,r\\\end{array}}}$ 

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante ${\displaystyle R(x)\!}$  de grado uno menos que el grado de ${\displaystyle P(x)\!}$ . El residuo es ${\displaystyle s.\!}$ 

Ejemplo 1

División de

${\displaystyle P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!}$ 

entre

${\displaystyle Q(x)=x+1.\,\!}$ 

utilizando la regla de Ruffini.

1. Se escribe ${\displaystyle Q(x)=x+1=x-(-1)\,\!}$  y el primer coeficiente (2) en el primer renglón:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{}&{}&{}\\\hline {}&2&{}&{}&{}\\\end{array}}}$ 

2. Multiplicando por la raíz r=(-1):

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{}&{}\\\hline {}&2&{}&{}&{}\\\end{array}}}$ 

3. Sumando la columna:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{}&{}\\\hline {}&2&{1}&{}&{}\\\end{array}}}$ 

4. El procedimiento se repite hasta obtener el residuo:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{-1}&{1}\\\hline {}&2&{1}&{-1}&{-3}\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}}$ 

Si el polinomio original = divisor×cociente+resto, entonces

${\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!}$ , donde

${\displaystyle R(x)=2x^{2}+x-1\,\!}$  y ${\displaystyle s=-3.\,\!}$ 

Ejemplo 2

Cuando el resto es igual a 0; permite factorizar, como en el siguiente ejemplo:

${\displaystyle F(x)=x^{3}+x^{2}-x-1}$ 

Tomamos

${\displaystyle G(x)=x+1}$ 

Usamos el método, y nos queda así:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&1&1&-1&-1\\-1&{}&{-1}&{0}&{1}\\\hline {}&1&{0}&{-1}&{0}\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}}$ 

Entonces F(x) se factoriza ${\displaystyle (x^{2}-1)(x+1)}$ 

Ejemplo 3

División por polinomio con coeficientes complejos:

${\displaystyle F(x)=4x^{3}+x^{2}}$ 

Tomamos

${\displaystyle G(x)=x+(1+i)}$ 

Usamos el método, y nos queda así:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&4&1&0&0\\-(1+i)&{}&-(4+4i)&-1+7i&8-6i\\\hline {}&4&-(3+4i)&(-1+7i)&-(-8+6i)\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}}$ 

${\displaystyle F(x)=[4x^{2}-(3+4i)x+(-1+7i)]G(x)+(8-6i)}$ 

Encontrar raíces

Véase también: Teorema de la raíz racional

Si ${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}$  es un polinomio con coeficientes enteros y con a₀ y a_n distintos de cero, entonces por el teorema de la raíz racional, todas las raíces racionales reales serán de la forma p/q, donde p es un entero divisor de a₀ y q es un entero divisor de a_n. Así por ejemplo, si el polinomio es

${\displaystyle P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2=0\,\!,}$ 

entonces las posibles raíces racionales son todos los enteros divisores de a₀ (−2):

${\displaystyle {\text{Posibles raíces:}}\left\{+1,-1,-2\right\}.}$ 

Esto es de utilidad para poder factorizar un polinomio (en caso de ser factorizable) de coeficientes enteros, usando los divisores del término independiente.

Véase también

• Operaciones con polinomios
• División larga
• División polinomial
• Algoritmo de Horner
• Paolo Ruffini

Referencias

1. *Weisstein, Eric W. «Regla de Ruffini». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
2. Florian Cajori, Horner's method of approximation anticipated by Ruffini, American Mathematical Society, 21 novembre 1910.
3. Los nueve capítulos del arte matemático, ChemlaShuchun, cap.4
4. Hélène Bellosta, À propos de l'histoire des sciences arabes el 16 de noviembre de 2006 en Wayback Machine., Gazette des mathématiciens, n°82, Octobre 1999.
5. J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), p. 304-309.

Bibliografía

• Cámara Sánchez, Ángeles (2007). «Operaciones con polinomios». Curso básico de matemática y estadística: del bachillerato al grado. España: Delta. pp. 64,65.  |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)
• Stapel, Elizabeth. «Synthetic Division: The Process». Purplemath (en inglés). Consultado el 30 de noviembre de 2011. 

Enlaces externos

• Ejemplos y ejercicios de la Regla de Ruffini en: Ejercicios de matemáticas
• Ejemplos y ejercicios de la Regla de Ruffini en: Vitutor
• Ejemplos y ejercicios de la Regla de Ruffini en: Matesfacil

•   Datos: Q2704282
•   Multimedia: Ruffini's rule