Punto de Feuerbach

En la geometría de triángulos, la circunferencia inscrita y la circunferencia de los nueve puntos de un triángulo son internamente tangentes entre sí en el punto de Feuerbach del triángulo. El punto de Feuerbach es un Elemento notable de un trángulo, lo que significa que su definición no depende de la ubicación y escala del triángulo. Aparece como X(11) en la Enciclopedia de Centros del Triángulo de Clark Kimberling, y lleva el nombre de Karl Wilhelm Feuerbach.^[1]​^[2]​

El punto de Feuerbach de un triángulo es el punto de tangencia entre su circunferencia inscrita y su circunferencia de los 9 puntos.

El teorema de Feuerbach, publicado por Feuerbach en 1822,^[3]​ establece de manera más general que la circunferencia de nueve puntos es tangente a las tres excircunferencias del triángulo, así como a su incircunferencia.^[4]​ John Casey publicó en 1866 una prueba muy breve de este teorema basada en el teorema de Casey sobre los bitangentes de cuatro circunferencias tangentes a una quinta circunferencia;^[5]​ El teorema de Feuerbach también se ha utilizado como caso de prueba para la demostración automatizada del teorema.^[6]​ Los tres puntos de tangencia con los excircunferencias forman el triángulo de Feuerbach del triángulo dado.

Propiedades

El punto de Feuerbach se encuentra en la recta que pasa por los centros de los dos círculos tangentes que lo definen. Estos centros son el incentro y el centro de nueve puntos del triángulo.^[1]​^[2]​

Sean ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$  y ${\displaystyle z}$  las tres distancias del punto de Feuerbach a los vértices del triángulo medial (los puntos medios de los lados BC=a, CA=b y AB=c respectivamente del triángulo original). Entonces,^[7]​^[8]​

${\displaystyle x+y+z=2\max(x,y,z),}$ 

o, de manera equivalente, la mayor de las tres distancias es igual a la suma de las otras dos. Específicamente, se tiene que

${\displaystyle x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,}$ 

donde O es el circuncentro del triángulo de referencia e I es su incentro.^[8]​^{: Propos. 3}

La última propiedad también es válida para el punto de tangencia de cualquiera de los excirculos con el círculo de los nueve puntos: la mayor distancia desde esta tangencia a uno de los puntos medios del lado del triángulo original es igual a la suma de las distancias a los otros dos puntos medios del lado.^[8]​

Si la circunferencia del triángulo ABC toca los lados BC, CA, AB en X, Y y Z respectivamente, y los puntos medios de estos lados son respectivamente P, Q y R, entonces con el punto F de Feuerbach los triángulos FPX, FQY y FRZ son similares a los triángulos AOI, BOI, COI respectivamente.^[8]​^{: Propos. 4}

Referencias

1. Kimberling, Clark (1994), «Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle», Mathematics Magazine 67 (3): 163-187, JSTOR 2690608, MR 1573021 ..
2. Encyclopedia of Triangle Centers el 19 de abril de 2012 en Wayback Machine., accessed 2014-10-24.
3. Feuerbach, Karl Wilhelm; Buzengeiger, Carl Heribert Ignatz (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (Monograph edición), Nürnberg: Wiessner ..
4. Scheer, Michael J. G. (2011), «A simple vector proof of Feuerbach's theorem», Forum Geometricorum 11: 205-210, MR 2877268 ..
5. Casey, J. (1866), «On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane», Proceedings of the Royal Irish Academy 9: 396-423, JSTOR 20488927 .. See in particular the bottom of p. 411.
6. Chou, Shang-Ching (1988), «An introduction to Wu's method for mechanical theorem proving in geometry», Journal of Automated Reasoning 4 (3): 237-267, MR 975146, doi:10.1007/BF00244942 ..
7. Weisstein, Eric W. «Feuerbach Point». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
8. Sa ́ndor Nagydobai Kiss, "A Distance Property of the Feuerbach Point and Its Extension", Forum Geometricorum 16, 2016, 283–290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf

Enlaces externos

• Punto de Feuerbach en XTEC

•   Datos: Q2190744