Anexo:Pendientes y deformaciones en vigas

En este artículo se muestran las fórmulas que se aplican para calcular pendientes y deformaciones en vigas, o sea la flecha máxima y el giro en el apoyo para algunos casos particulares de la curva elástica que se produce en vigas sometidas a cargas.

Vigas con soportes simples (biapoyadas)

En las siguientes fórmulas E designa al módulo de Young del material en que está construida la viga, e I al segundo momento de área de la sección transversal de la misma y L la luz de la viga:

Tipo de carga	Pendiente	Deformación	Curva elástica
Viga con carga concentrada P a media longitud	${\displaystyle \theta \ _{1}=-\theta \ _{2}=-{\frac {PL^{2}}{16EI}}}$	${\displaystyle y_{\max }={\frac {-PL^{3}}{48EI}}}$ para ${\displaystyle x={\frac {L}{2}}}$	${\displaystyle y=-{\frac {PxL^{2}}{16EI}}\left(1-{\frac {4}{3}}{\frac {x^{2}}{L^{2}}}\right)\quad x<{\frac {L}{2}}}$
Viga con carga concentrada en cualquier longitud	${\displaystyle \theta \ _{1}=-{\frac {Pab\left(L+b\right)}{6EIL}}}$	${\displaystyle y_{\max }=-{\frac {P}{9EI}}{\frac {b}{{\sqrt {3}}L}}(L^{2}-b^{2})^{\frac {3}{2}}}$ para ${\displaystyle x={\sqrt {\frac {L^{2}-b^{2}}{3}}}}$	${\displaystyle y=-{\frac {PLbx}{6EI}}\left(1-{\frac {b^{2}+x^{2}}{L^{2}}}\right)\quad x<a}$
Viga con carga distribuida constante sobre toda su longitud	${\displaystyle \theta _{\max }=-{\frac {qL^{3}}{24EI}}}$	${\displaystyle y_{\max }=-{\frac {-5qL^{4}}{384EI}}}$	${\displaystyle y(x)=-{\frac {qx}{24EI}}\left(x^{3}-2Lx^{2}+L^{3}\right)}$
Viga con momento aplicado al inicio	${\displaystyle \theta \ _{1}={\frac {M_{0}L}{3EI}}}$ ${\displaystyle \theta _{2}=-{\frac {M_{0}L}{6EI}}}$	${\displaystyle y_{\max }={\frac {M_{0}L^{2}}{9{\sqrt {3}}EI}}}$ para ${\displaystyle x=L\left(1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)}$	${\displaystyle y={\frac {M_{0}L}{6EI}}(L-x)\left(1-{\frac {(L-x)^{2}}{L^{2}}}\right)}$

Vigas en voladizo (ménsulas empotradas)

Tipo de carga	Pendiente	Deformación	Curva elástica
Ménsula con carga concentrada al extremo	${\displaystyle \theta \ _{\max }={\frac {-PL^{2}}{2EI}}}$	${\displaystyle y_{\max }={\frac {-PL^{3}}{3EI}}}$	${\displaystyle y={\frac {-Px^{2}}{6EI}}\left(3L-x\right)}$
Ménsula con carga concentrada en un punto intermedio (a una distancia ${\displaystyle a}$ del extremo empotrado)	${\displaystyle \theta \ _{\max }={\frac {-Pa^{2}}{2EI}}}$	${\displaystyle y_{\max }=-Pa^{2}{\frac {(3L-a)}{6EI}}}$	cuando ${\displaystyle x<a}$: ${\displaystyle y={\frac {-Px^{2}}{6EI}}\left(3a-x\right)}$ cuando ${\displaystyle x>a}$: ${\displaystyle y={\frac {-Pa^{2}}{6EI}}\left(3x-a\right)}$
Ménsula con carga distribuida constante sobre toda su longitud	${\displaystyle \theta \ _{\max }={\frac {-wL^{3}}{6EI}}}$	${\displaystyle y_{\max }={\frac {-wL^{4}}{8EI}}}$	${\displaystyle y={\frac {-wx^{2}}{24EI}}\left(x^{2}-4Lx+6L^{2}\right)}$
Ménsula con carga distribuida constante sobre parte de su longitud	${\displaystyle \theta \ _{\max }={\frac {-w}{6EI}}\left(a^{3}-15c^{3}+3ac(a+c)\right)}$ ${\displaystyle y_{\max }={\frac {-wca^{2}}{3EI}}\left(L(3+{\frac {c^{2}}{a^{2}}})-a(1+{\frac {c^{2}}{a^{2}}})\right)}$
Ménsula con un momento puntal M0 en el extremo	${\displaystyle \theta \ _{\max }=-{\frac {M_{0}L}{EI}}}$	${\displaystyle y_{\max }=-{\frac {M_{0}L^{2}}{2EI}}}$	${\displaystyle y(x)=-{\frac {-M_{0}x^{2}}{2EI}}}$
Ménsula con un momento puntal M0 en el vano	${\displaystyle \theta \ _{\max }=-{\frac {M_{0}a}{EI}}}$	${\displaystyle y_{\max }=-{\frac {M_{0}a^{2}}{2EI}}-{\frac {M_{0}ab}{EI}}}$	${\displaystyle y(x)={\begin{cases}-{\cfrac {-M_{0}x^{2}}{2EI}}&x\leq a\\-{\cfrac {M_{0}a^{2}}{2EI}}-{\cfrac {M_{0}a(x-a)}{EI}}&a\leq x\leq L\end{cases}}}$

Vigas biempotradas

Las vigas biempotradas son casos de vigas hiperestáticas que requieren la determinación de los momentos de empotramiento, antes de poder calcular directamente las pendientes y los desplazamientos sobre las mismas.

Tipo de carga	Reacciones	Pendiente, desplazamiento máximo y curva elástica
Biempotrada con carga uniforme en una porción simétricamente distribuida	${\displaystyle R_{A}=+{\frac {qL}{2}}R_{B}=+{\frac {qL}{2}}}$  ${\displaystyle M_{A}=+{\frac {qL^{2}}{12}},\ M_{B}=-{\frac {qL^{2}}{12}}}$  ${\displaystyle M_{f}(x)=-{\frac {qL^{2}}{12}}+{\frac {qx(L-x)}{2}}}$	${\displaystyle \theta \ _{\max }={\frac {{\sqrt {3}}qL^{3}}{216}}}$  ${\displaystyle y_{\max }=-{\frac {qL^{4}}{384EI}}}$  ${\displaystyle y=-{\frac {qx^{2}}{24EI}}(L-x)^{2}}$
Biempotrada con carga uniforme en una porción asimétricamente distribuida		Error al representar (función desconocida «\thre»): {\displaystyle \thre5math> y_{\max} = } ${\displaystyle y=}$

Véase también

• Fibra neutra

Enlaces externos

• Prontuario de solicitaciones y deformaciones en vigas