Enteoría de números, un número entero algebraico es un número complejo que es la raíz de algún polinomio mónico (siendo el coeficiente principal 1) con coeficientes en ℤ. El conjunto de todos los enteros algebraicos es cerrado bajo la adición y multiplicación y también es un subanillo de números complejos denotado mediante A. El anillo A es la clausura integral de los enteros regulares ℤ en los números complejos.
Cada entero algebraico pertenece al anillo de enteros de algún cuerpo numérico. Un número x es un entero algebraico si y solo si el anillo ℤ[x] es finitamente generado como un grupo abeliano, es decir, como módulo -ℤ.
Definiciones
Números enteros algebraicos representados como puntos rojos en el plano complejo. Los valores 0, 1 e i están indicados.
Las siguientes definiciones de un número entero algebraico son equivalentes; Sea K un cuerpo numérico (por ejemplo, una extensión finita de ℚ, en otras palabras, K = ℚ(θ) para algún θ ∈ ℂ por el teorema del elemento primitivo.
α ∈ K es un entero algebraico si existe un polinomio mónico f(x) ∈ ℤ[x] tal que f(α) = 0.
α ∈ K es un entero algebraico si el polinomio mónico mínimo de α sobre ℚ pertenece a ℤ[x].
α ∈ K es un entero algebraico si ℤ[α] es un módulo -ℤ finitamente generado.
α ∈ K es un entero algebraico si existe un submódulo -ℤM ⊂ ℂ finitamente generado tal que αM ⊆ M.
Los números enteros algebraicos son un caso especial de elementos integrales de una extensión de anillo. En particular, un entero algebraico es un elemento integral de una extensión finita K/ℚ.
Propiedades
Para un número algebraico a existe un entero racional p de modo que na es un entero algebraico [1]
Entre los elementos de ℚ, los únicos que son enteros algebraicos son los números enteros 0, ±1, ±2, ...
la ecuación mínima de un entero algebraico es con coeficiente principal 1, los demás coeficientes son números enteros.
si m y n son enteros algebraicos tanto la suma como el producto de ellos son enteros algebraicos.
el conjunto de todos los enteros algebraicos forma un anillo conmutativo unitario.
Números p-ádicos
Notas y referencias
Hefez: Algebra I, IMPa, brasil
Bibliografía
Abraham Robinson, Numbers and Ideals, San Francisco Holden-Day, 1965.
Daniel A. Marcus, Number Fields, third edition, Springer-Verlag, 1977
Datos:Q646245
Febrero 18, 2022
número, entero, algebraico, debe, confundirse, elemento, algebraico, teoría, números, número, entero, algebraico, número, complejo, raíz, algún, polinomio, mónico, siendo, coeficiente, principal, coeficientes, conjunto, todos, enteros, algebraicos, cerrado, ba. No debe confundirse con elemento algebraico En teoria de numeros un numero entero algebraico es un numero complejo que es la raiz de algun polinomio monico siendo el coeficiente principal 1 con coeficientes en ℤ El conjunto de todos los enteros algebraicos es cerrado bajo la adicion y multiplicacion y tambien es un subanillo de numeros complejos denotado mediante A El anillo A es la clausura integral de los enteros regulares ℤ en los numeros complejos El anillo de los numeros enteros de un cuerpo numerico K denotado mediante OK es la interseccion de K y A este tambien puede ser caracterizado como el maximo orden del cuerpo K Cada entero algebraico pertenece al anillo de enteros de algun cuerpo numerico Un numero x es un entero algebraico si y solo si el anillo ℤ x es finitamente generado como un grupo abeliano es decir como modulo ℤ Indice 1 Definiciones 2 Propiedades 3 Numeros p adicos 4 Notas y referencias 5 Bibliografia 6 Vease tambien 7 ReferenciasDefiniciones Editar Numeros enteros algebraicos representados como puntos rojos en el plano complejo Los valores 0 1 e i estan indicados Las siguientes definiciones de un numero entero algebraico son equivalentes Sea K un cuerpo numerico por ejemplo una extension finita de ℚ en otras palabras K ℚ 8 para algun 8 ℂ por el teorema del elemento primitivo a K es un entero algebraico si existe un polinomio monico f x ℤ x tal que f a 0 a K es un entero algebraico si el polinomio monico minimo de a sobre ℚ pertenece a ℤ x a K es un entero algebraico si ℤ a es un modulo ℤ finitamente generado a K es un entero algebraico si existe un submodulo ℤ M ℂ finitamente generado tal que aM M Los numeros enteros algebraicos son un caso especial de elementos integrales de una extension de anillo En particular un entero algebraico es un elemento integral de una extension finita K ℚ Propiedades EditarPara un numero algebraico a existe un entero racional p de modo que na es un entero algebraico 1 Entre los elementos de ℚ los unicos que son enteros algebraicos son los numeros enteros 0 1 2 la ecuacion minima de un entero algebraico es con coeficiente principal 1 los demas coeficientes son numeros enteros si m y n son enteros algebraicos tanto la suma como el producto de ellos son enteros algebraicos el conjunto de todos los enteros algebraicos forma un anillo conmutativo unitario Numeros p adicos EditarNotas y referencias Editar Hefez Algebra I IMPa brasilBibliografia EditarAbraham Robinson Numbers and Ideals San Francisco Holden Day 1965 Vease tambien EditarNumero algebraico Entero gaussiano Entero de Eisenstein Raiz de la unidad Teorema de las unidades de Dirichlet Unidad fundamental teoria de numeros Referencias EditarDaniel A Marcus Number Fields third edition Springer Verlag 1977 Datos Q646245 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Numero entero algebraico amp oldid 130956645, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
