Número de Skewes

En teoría de números, el número de Skewes es cualquiera de varios números e^x extremadamente grandes utilizados por el matemático sudafricano Stanley Skewes como cota superior para el número natural más pequeño x para el cual

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}$

donde π es la función contador de números primos y li es la función integral logarítmica. Estas cotas desde entonces han sido mejoradas por otras. Hay un cruce cercano a ${\displaystyle e^{727.95133}}$, aunque se desconoce si es el más pequeño.

Historia

John Edensor Littlewood, profesor de Skewes, había demostrado en 1914^[1]​ que existen tales números (y por lo tanto, uno más pequeño entre ellos) y encontró que la diferencia π ( x ) - li ( x ) cambia de signos un número infinito de veces. Si tal número existe no estaba del todo claro en ese momento, ya que todos los résultats numériques disponibles parecían sugerir que π ( x ) es siempre menor que li ( x ). La prueba de Littlewood, sin embargo, no muestra ese número x : no es effective. De hecho, se basa en una alternativa: o el hipótesis de Riemann es falso, o la hipótesis de Riemann es verdadera y la prueba es entonces más difícil.^[2]​ (Por lo tanto, se basó en el principio del tercero excluido).

Skewes demostró en 1933^[3]​ que, asumiendo la hipótesis de Riemann como verdadera, existe tal número x, menor que ${\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {e}}^{{\rm {e}}^{79}}}.}$ 

Este límite superior, a veces llamado primer número de Skewes, sería mejorado por el propio Skewes, cuando determinó una cota superior más pequeña, con el valor ${\displaystyle 10^{10^{10^{34}}}.}$ 

En 1955,^[4]​ sin utilizar la hipótesis de Riemann, logró demostrar que existe tal x menor que ${\displaystyle 10^{10^{10^{963}}}.}$ 

Este número a veces se denomina "segundo número de Skewes".

Estos (enormes) límites superiores se han reducido considerablemente desde entonces: sin la hipótesis de Riemann, Herman te Riele dio en 1987^[5]​ el límite superior

${\displaystyle 7\times 10^{370}\ }$ 

y una mejor estimación, 1.39822 × 10³¹⁶, fue descubierta en 2000 por Carter Bays y Richard H. Hudson.

Referencias

1. Littlewood, J. E. (1914). «Sur la distribution des nombres premiers». C. R. Acad. Sci. Paris (CRAS) 158: 263-266. .
2. Davenport, Harold (2000). 30. «Multiplicative Number Theory». GTM (en inglés) (3 edición) (74): 172 de 182. ISBN 978-0-387-95097-6. 
3. Skewes, S. (1933). «On the difference π(x) – li(x)». J. London Math. Soc. (en inglés) (Liste des journaux scientifiques en mathématiques#J) 8: 277-283. .
4. S. Skewes (1955). «On the difference π(x) – li(x) (II)». Proc. London Math. Soc. (en inglés) (Liste des journaux scientifiques en mathématiques#P) 5: 48-70. 
5. te Riele, H. J. J. (1987). «On the Sign of the Difference π(x) – li(x)». Math. Comp. (en inglés) (Liste des journaux scientifiques en mathématiques#M) 48: 323-328. doi:10.2307/2007893. 

•   Datos: Q477645