Número primo primo

En matemáticas, los primos primos son números primos que difieren entre sí en cuatro unidades.^[1]​ El concepto surge a partir del de primos gemelos, esto es, las parejas de números primos cuya diferencia es dos unidades. Existe también un nombre para los primos que difieren en 6 unidades: primos sexys.

En la OEIS se corresponde con las sucesiones A023200 y A046132.

Las primeras parejas de primos primos (todos menores que 1000) son:

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 443), (457, 461), (463,467), (487, 491), (499, 503), (613, 617), (643, 647), (673, 677), (739, 743), (757, 761), (769, 773), (823, 827), (853, 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887), (907, 911), (937, 941), (967, 971)

Propiedades

El único número primo que pertenece a dos pares de primos primos es el 7. Uno de los números n, n+4, n+8 siempre será divisible por 3, por lo que solo para n = 3 se da el caso de que en esa terna aparecen tres primos primos.

La mayor pareja de primos primos encontrada hasta la fecha es (p, p + 4) donde

p = 4111286921397 · 266420 + 1

el cuál tiene 20008 dígitos. De hecho, este número es parte de una terna prima pues p es también un primo gemelo (porque p − 2 es también primo).

La pareja de primos primos probables más grande conocida es:

474435381 · 298394 − 1

474435381 · 298394 − 5.

que tienen 29629 dígitos y fue encontrada por Angel, Jobling y Augustin.^[2]​ Se ha demostrado que es primo el primero de estos números, mientras que el segundo es un primo probable.

De la primera conjetura de Hardy@–Littlewood se sigue que los primos primos tienen la misma densidad asintótica que los primos gemelos.

Se puede definir un equivalente a la Constante de Brun para primos gemelos, llamada constante de Brun para primos primos, por la siguiente serie convergente, donde el término inicial (3, 7) se omite:^[3]​

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}\right)+\left({\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}\right)+\left({\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}\right)+\cdots .}$ 

Utilizando primos primos hasta 2⁴², el valor de B₄ fue estimado por Marek Wolf, en 1996 en

B₄ ≈ 1.1970449.^[4]​

Esta constante no debería confundirse con la constante de Brun para cuádruplas de primos, que también se nota como B₄.

El número de Skewes para los primos primos es ${\displaystyle 5206837}$  (Tóth, 2019)

Véase también

• Primos gemelos
• Primos sexys
• Número primo / Primo de Solinas
• Conjetura de los números primos gemelos
• Constante de Brun

Referencias

1. Weisstein, Eric W. «Cousin Primes». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
2. 474435381 · 2⁹⁸³⁹⁴ − 1. Prime pages.
3. Segal, B. (1930). «Generalisation du théorème de Brun». C. R. Acad. Sci. URSS (en russian) 1930: 501-507. 
4. Marek Wolf (1996), On the Twin and Cousin Primes.

Bibliografía

• Wells, David (2011). Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. John Wiley & Sons. p. 33. ISBN 978-1118045718. 
• Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard (2007). Number theory: an introduction via the distribution of primes. Birkhäuser. pp. 206. ISBN 978-0817644727. 
• Tóth, László (2019), «On The Asymptotic Density Of Prime k-tuples and a Conjecture of Hardy and Littlewood», Computational Methods in Science and Technology 25 (3), doi:10.12921/cmst.2019.0000033 ..
• Wolf, Marek (February 1998). «Random walk on the prime numbers». Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications 250 (1–4): 335-344. doi:10.1016/s0378-4371(97)00661-4. 

•   Datos: Q1191657