Número doble de Mersenne

En matemáticas, un número doble de Mersenne es un número de Mersenne de la forma

${\displaystyle M_{M_{n}}=2^{M_{n}}-1=2^{2^{n}-1}-1}$

donde el exponente ${\displaystyle 2^{n}-1}$ es a su vez el número de Mersenne ${\displaystyle M_{n}}$, con n natural.

Números dobles de Mersenne primos

A menudo se consideran solamente los números dobles de Mersenne que son primos.

Como un número de Mersenne ${\displaystyle M_{p}}$  es primo solo si ${\displaystyle p}$  es primo (puede ver la demostración en el artículo "Número de Mersenne"), se tiene que un número doble de Mersenne ${\displaystyle M_{M_{p}}}$  es primo solo si ${\displaystyle M_{p}}$  es a su vez un número primo de Mersenne.
Los primeros valores de p para los cuales ${\displaystyle M_{p}}$  es primo son p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89. De ellos, se sabe que ${\displaystyle M_{M_{p}}}$  es primo para p = 2, 3, 5, 7. Para p = 13, 17, 19 y 31, se han hallado factores de forma explícita, con lo que está demostrado que los números dobles de Mersenne correspondientes son compuestos. Por tanto, el candidato más pequeño para ser un número doble de Mersenne primo es ${\displaystyle M_{M_{6}1}}$ , es decir, 2^{2305843009213693951} − 1. Con aproximadamente 6,94 × 10¹⁷ cifras, este número es demasiado grande para cualquier test de primalidad de los que se conocen en la actualidad, aunque se sabe que no tiene ningún factor primo menor que 4 × 10³³.^[1]​

He aquí la lista de los números dobles de Mersenne primos que se conocen en la actualidad:

${\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}$ 

${\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}$ 

${\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}$ 

${\displaystyle M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727}$  (sucesión A077586 en OEIS)

Números de Catalan-Mersenne

Sea ${\displaystyle M(p)=M_{p}}$ . La sucesión definida de forma recursiva como:

2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... (sucesión A007013 en OEIS)

se conoce como la sucesión de los números de Catalan-Mersenne.^[2]​ Se dice^[3]​ que a Catalan se le ocurrió esta sucesión tras descubrir Lucas en 1876 que ${\displaystyle M(127)=M(M(M(M(2))))}$  era primo.

Aunque los cinco primeros términos de la sucesión (hasta ${\displaystyle M(127)}$ ) son primos, no se conoce método alguno que ayude a dilucidar si algún término más lo es también.

Referencias

1. Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008.
2. MathWorld: Catalan-Mersenne Number
3. Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists en las Prime Pages.

Bibliografía

• L. E. Dickson, History of the theory of numbers, Carnegie Institute of Washington, 1919. Reimpreso por Chelsea Publishing, Nueva York, 1971.

•   Datos: Q1318413