Número de Thabit

En teoría de números un número de Thabit, número de Thábit ibn Qurra o número 321 es un número entero de la forma ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}$, siendo n un número entero no negativo.

Definición

Un número de Thabit está descrito por la fórmula:

${\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}$ ,

donde n es un número entero no negativo ${\displaystyle (n=0,1,\dots )}$ .

Los primeros veinte números de Thabit son:^[1]​

2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1.535, 3.071, 6.143, 12.287, 24.575, 49.151, 98.303, 196.607, 393.215, 786.431, y 1.572.863.

Los números de Thabit representados en forma binaria tienen una longitud de ${\displaystyle n+2}$  dígitos y consisten de un «10» seguido por n unos. Por ejemplo, para el número 23, ${\displaystyle n=3}$ 

${\displaystyle 23=3\cdot 2^{3}-1}$ ,

y en modo binario:

${\displaystyle 23=10111_{2}}$ ,

es decir, un 10 seguido de tres unos.

Los primeros diez números de Thabit que además son números primos son:^[1]​

2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6.143, 786.431 y 51.539.607.551.

Para abril de 2008, los valores conocidos de n con los cuales se obtiene un número de Thabit primos son:^[2]​

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1.274, 3.276, 4.204, 5.134, 7.559, 12.676, 14.898, 18.123, 18.819, 25.690, 26.459, 41.628, 51.387, 71.783, 80.330, 85.687, 88.171, 97.063, 123.630, 155.930, 164.987, 234.760, 414.840, 584.995, 702.038, 727.699, 992.700, 1.201.046, 1.232.255, 2.312.734, 3.136.255 y 4.235.414.

Los primos para ${\displaystyle n\geq 234.760}$  fueron encontrados por el proyecto de computación distribuida 321 search.^[3]​ El mayor de éstos, ${\displaystyle 3\cdot 2^{4.235.414}-1}$ , tiene 1.274.988 dígitos y fue encontrado por Dylan Bennet en abril de 2008. El récord anterior era ${\displaystyle 3\cdot 2^{3.136.255}-1}$ , encontrado por Paul Underwood en marzo de 2007.

Números amigos

Cuando n y ${\displaystyle n-1}$  producen números de Thabit primos, y ${\displaystyle 9\cdot 2^{2n-1}-1}$  es primo también, se puede calcular un par de números amigos de la siguiente manera:

${\displaystyle 2^{n}(3\cdot 2^{n-1}-1)(3\cdot 2^{n}-1)}$  y ${\displaystyle 2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1).}$ 

Por ejemplo, ${\displaystyle n=2}$  produce el número de Thabit 11 y ${\displaystyle n=1}$  produce el número de Thabit 5, por lo que el tercer término es ${\displaystyle 9\cdot 2^{2(2)}-1=71}$ . Usando las fórmulas anteriores se obtienen los números amigos 220 y 284. Los divisores del primero suman 284 y del segundo 220.

Los únicos valores conocidos de n para los que se satisfacen estas condiciones son 2, 4 y 7, los cuales corresponden a los números de Thabit 11, 47 y 383.

Se reconoce al matemático del siglo IX Thábit ibn Qurra como el primero en estudiar estos números y su relación con los números amigos.

Véase también

• Regla de Thabit ibn Qurrá

Referencias

Notas

1. Obtenidos a través de la secuencia A055010, On-line Encyclopedia of Integer Sequences, Henry Bottomley (2000)
2. Caldwell, Chris. «The Largest Known Primes!: 3 . 2^24235414 - 1» (en inglés). The Prime Pages. Universidad de Tennessee. http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=84769. Consultado el 16 de agosto de 2010 .
3. 321 Search (2006), status of the search.html «The status of the search». Consultado el 16 de agosto de 2010 (en inglés).

Enlaces externos

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Thabit number» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.
• Weisstein, Eric W. ««Thâbit ibn Kurrah Number»». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

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•   Datos: Q965294