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Modelo de Solovay

Agosto 17, 2021

En el campo matemático de teoría de conjuntos, el modelo de Solovay es un modelo construido por Robert M. Solovay (1970) en el que todos los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel se cumplen, a excepción del axioma de elección, pero en el que todos los conjuntos de números reales son medibles Lebesgue. La construcción se sustenta en la existencia de un cardinal inaccesible.

De esta forma Solovay demostró que el axioma de elección es esencial para la demostración de la existencia de un conjunto no medible, y garantizó que la existencia de un cardinal inaccesible es consistente con ZFC, los axiomas de Zermelo-Fraenkel incluyendo el axioma de elección.

Afirmación

Con ZF se denota la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, y con DC el axioma de elección dependiente.

El teorema de Solovay dice como sigue. Asumiendo la existencia de un cardinal inaccesible, existe un modelo interno a ZF+DC de una extensión forcing adecuada V[G] tal que todo conjunto de reales es medible Lebesgue, tiene la propiedad de conjunto perfecto, y tiene la propiedad de Baire.

Construcción

Solovay construyó su modelo en dos pasos, comenzando con un modelo M de ZFC conteniendo un cardinal inaccesible κ.

El primer paso es tomar un colapso de Levy M[G] de M añadiendo un conjunto genérico G para la noción de forcing que colapsa todos los cardinales menores que κ a ω. Entonces M[G] es un modelo de ZFC con la propiedad de que todo conjunto de reales que es definible sobre una sucesión numerable de ordinales es medible Lebesgue, y tiene la propiedad de Baire y la de conjunto perfecto. Esto incluye todos los conjuntos de reales definibles y proyectivos; sin embargo, por razones relacionadas con el teorema de indefinitud de Tarski la noción de conjunto definible de reales no se puede definir en el lenguaje de teoría de conjuntos, mientras que la noción de conjunto de reales definible sobre una sucesión numerable de ordinales sí puede.

El segundo paso es construir el modelo de Solovay N como la clase de todos los conjuntos en M[G] que son hereditariamente definibles sobre una sucesión numerable de ordinales. El modelo N es un modelo interno de M[G] que satisface ZF + DC tal que todo conjunto de reales es medible Lebesgue, tiene la propiedad de conjunto perfecto y tiene la propiedad de Baire. Esta demostración hace uso del hecho de que todo real en M[G] es definible sobre una sucesión numerable de ordinales, y por tanto N y M[G] tienen los mismos reales.

En lugar de usar el modelo de Solovay N, se puede usar también el modelo interno más pequeño L(R) de M[G], que consiste en la clausura constructible de los números reales, que tiene propiedades similares.

Complementos

Solovay sugirió en su artículo que el uso de un cardinal inaccesible podría no ser necesario. Varios autores probaron versiones más débiles del resultado de Solovay sin asumir la existencia de un cardinal inaccesible. En particular, Krivine (1969) probó que existe un modelo de ZFC en el que todo conjunto ordinal-definible de reales es medible, Solovay demostró que existe un modelo de ZF+DC en el que existe una extensión invariante-traslacional de la medida de Lebesgue a todos los subconjuntos de los reales, y Shelah (1984) demostró que existe un modelo en el que todos los conjuntos de reales tienen la propiedad de Baire (de forma que el cardinal inaccesible es innecesario en este caso).

El caso de la propiedad de conjunto perfecto lo resolvió Specker (1957), que probó (en ZF) que si todo conjunto de reales tiene la propiedad de conjunto perfecto y el primer cardinal no numerable ℵ1 es regular entonces ℵ1 es inaccesible en este modelo. Combinado con el resultado de Solovay, esto demuestra que la afirmación "Existe un cardinal inaccesible" y "Todo conjunto de reales tiene la propiedad de conjunto perfecto" son equiconsistentes en ZF.

Finalmente, Shelah (1984) demostró que la consistencia de un cardinal inaccesible es también necesaria para construir un modelo en el que todos los conjuntos de reales sean medibles Lebesgue. Más precisamente, demostró que si todo conjunto Σ1 3 de reales es medible entonces el primer cardinal no numerable ℵ1 es inaccesible en este modelo, de forma que la condición sobre un cardinal inaccesible no se puede obviar del teorema de Solovay. Shelah también probó que la condición Σ1 3 es cercana a la mejor posible construyendo un modelo (sin usar un cardinal inaccesible) en el que todos los conjuntos Δ1 3 de reales son medibles. Raisonnier (1984), Stern (1985) y Miller (1989) detallaron en sus artículos este resultado.

Shelah y Woodin (1990) demostraron que si existen cardinales supercompactos, entonces todo conjunto de reales en L(R), los conjuntos constructibles generados por los reales, es medible Lebesgue y tiene la propiedad de Baire. Esto incluye todo conjunto de reales "razonablemente definible".

Referencias

  • Krivine, Jean-Louis (1969), «Modèles de ZF + AC dans lesquels tout ensemble de réels définissable en termes d'ordinaux est mesurable-Lebesgue», Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences. Séries A et B 269: A549--A552, ISSN 0151-0509 .
  • Krivine, Jean-Louis (1971), «Théorèmes de consistance en théorie de la mesure de R. Solovay», Séminaire Bourbaki vol. 1968/69 Exposés 347-363, Lecture Notes in Mathematics 179, pp. 187-197, ISBN 978-3-540-05356-9, doi:10.1007/BFb0058812 .
  • Miller, Arnold W. (1989), «Review of "Can You Take Solovay's Inaccessible Away? by Saharon Shelah"», The Journal of Symbolic Logic (Association for Symbolic Logic) 54 (2): 633-635, ISSN 0022-4812, doi:10.2307/2274892 .
  • Raisonnier, Jean (1984), «A mathematical proof of S. Shelah's theorem on the measure problem and related results.», Israel J. Math. 48: 48-56, doi:10.1007/BF02760523 .
  • Shelah, Saharon (1984), «Can you take Solovay's inaccessible away?», Israel Journal of Mathematics 48 (1): 1-47, ISSN 0021-2172, doi:10.1007/BF02760522 .
  • Shelah, Saharon; Woodin, Hugh (1990), «Large cardinals imply that every reasonably definable set of reals is Lebesgue measurable», Israel Journal of Mathematics 70 (3): 381-394, ISSN 0021-2172, doi:10.1007/BF02801471 .
  • Solovay, Robert M. (1970), «A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable», Annals of Mathematics, Second Series 92: 1-56, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970696, MR 0265151 .
  • Specker, Ernst (1957), «Zur Axiomatik der Mengenlehre (Fundierungs- und Auswahlaxiom)», Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 3: 173-210, ISSN 0044-3050, MR 0099297, doi:10.1002/malq.19570031302 .
  • Stern, Jacques (1985), «Le problème de la mesure», Astérisque (121): 325-346, ISSN 0303-1179, MR 768968 .
  •   Datos: Q7558851

Agosto 17, 2021
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En el campo matematico de teoria de conjuntos el modelo de Solovay es un modelo construido por Robert M Solovay 1970 en el que todos los axiomas de la teoria de conjuntos de Zermelo Fraenkel se cumplen a excepcion del axioma de eleccion pero en el que todos los conjuntos de numeros reales son medibles Lebesgue La construccion se sustenta en la existencia de un cardinal inaccesible De esta forma Solovay demostro que el axioma de eleccion es esencial para la demostracion de la existencia de un conjunto no medible y garantizo que la existencia de un cardinal inaccesible es consistente con ZFC los axiomas de Zermelo Fraenkel incluyendo el axioma de eleccion Indice 1 Afirmacion 2 Construccion 3 Complementos 4 ReferenciasAfirmacion EditarCon ZF se denota la teoria de conjuntos de Zermelo Fraenkel y con DC el axioma de eleccion dependiente El teorema de Solovay dice como sigue Asumiendo la existencia de un cardinal inaccesible existe un modelo interno a ZF DC de una extension forcing adecuada V G tal que todo conjunto de reales es medible Lebesgue tiene la propiedad de conjunto perfecto y tiene la propiedad de Baire Construccion EditarSolovay construyo su modelo en dos pasos comenzando con un modelo M de ZFC conteniendo un cardinal inaccesible k El primer paso es tomar un colapso de Levy M G de M anadiendo un conjunto generico G para la nocion de forcing que colapsa todos los cardinales menores que k a w Entonces M G es un modelo de ZFC con la propiedad de que todo conjunto de reales que es definible sobre una sucesion numerable de ordinales es medible Lebesgue y tiene la propiedad de Baire y la de conjunto perfecto Esto incluye todos los conjuntos de reales definibles y proyectivos sin embargo por razones relacionadas con el teorema de indefinitud de Tarski la nocion de conjunto definible de reales no se puede definir en el lenguaje de teoria de conjuntos mientras que la nocion de conjunto de reales definible sobre una sucesion numerable de ordinales si puede El segundo paso es construir el modelo de Solovay N como la clase de todos los conjuntos en M G que son hereditariamente definibles sobre una sucesion numerable de ordinales El modelo N es un modelo interno de M G que satisface ZF DC tal que todo conjunto de reales es medible Lebesgue tiene la propiedad de conjunto perfecto y tiene la propiedad de Baire Esta demostracion hace uso del hecho de que todo real en M G es definible sobre una sucesion numerable de ordinales y por tanto N y M G tienen los mismos reales En lugar de usar el modelo de Solovay N se puede usar tambien el modelo interno mas pequeno L R de M G que consiste en la clausura constructible de los numeros reales que tiene propiedades similares Complementos EditarSolovay sugirio en su articulo que el uso de un cardinal inaccesible podria no ser necesario Varios autores probaron versiones mas debiles del resultado de Solovay sin asumir la existencia de un cardinal inaccesible En particular Krivine 1969 probo que existe un modelo de ZFC en el que todo conjunto ordinal definible de reales es medible Solovay demostro que existe un modelo de ZF DC en el que existe una extension invariante traslacional de la medida de Lebesgue a todos los subconjuntos de los reales y Shelah 1984 demostro que existe un modelo en el que todos los conjuntos de reales tienen la propiedad de Baire de forma que el cardinal inaccesible es innecesario en este caso El caso de la propiedad de conjunto perfecto lo resolvio Specker 1957 que probo en ZF que si todo conjunto de reales tiene la propiedad de conjunto perfecto y el primer cardinal no numerable ℵ1 es regular entonces ℵ1 es inaccesible en este modelo Combinado con el resultado de Solovay esto demuestra que la afirmacion Existe un cardinal inaccesible y Todo conjunto de reales tiene la propiedad de conjunto perfecto son equiconsistentes en ZF Finalmente Shelah 1984 demostro que la consistencia de un cardinal inaccesible es tambien necesaria para construir un modelo en el que todos los conjuntos de reales sean medibles Lebesgue Mas precisamente demostro que si todo conjunto S1 3 de reales es medible entonces el primer cardinal no numerable ℵ1 es inaccesible en este modelo de forma que la condicion sobre un cardinal inaccesible no se puede obviar del teorema de Solovay Shelah tambien probo que la condicion S1 3 es cercana a la mejor posible construyendo un modelo sin usar un cardinal inaccesible en el que todos los conjuntos D1 3 de reales son medibles Raisonnier 1984 Stern 1985 y Miller 1989 detallaron en sus articulos este resultado Shelah y Woodin 1990 demostraron que si existen cardinales supercompactos entonces todo conjunto de reales en L R los conjuntos constructibles generados por los reales es medible Lebesgue y tiene la propiedad de Baire Esto incluye todo conjunto de reales razonablemente definible Referencias EditarKrivine Jean Louis 1969 Modeles de ZF AC dans lesquels tout ensemble de reels definissable en termes d ordinaux est mesurable Lebesgue Comptes Rendus Hebdomadaires des Seances de l Academie des Sciences Series A et B 269 A549 A552 ISSN 0151 0509 Krivine Jean Louis 1971 Theoremes de consistance en theorie de la mesure de R Solovay Seminaire Bourbaki vol 1968 69 Exposes 347 363 Lecture Notes in Mathematics 179 pp 187 197 ISBN 978 3 540 05356 9 doi 10 1007 BFb0058812 Miller Arnold W 1989 Review of Can You Take Solovay s Inaccessible Away by Saharon Shelah The Journal of Symbolic Logic Association for Symbolic Logic 54 2 633 635 ISSN 0022 4812 doi 10 2307 2274892 Raisonnier Jean 1984 A mathematical proof of S Shelah s theorem on the measure problem and related results Israel J Math 48 48 56 doi 10 1007 BF02760523 Shelah Saharon 1984 Can you take Solovay s inaccessible away Israel Journal of Mathematics 48 1 1 47 ISSN 0021 2172 doi 10 1007 BF02760522 Shelah Saharon Woodin Hugh 1990 Large cardinals imply that every reasonably definable set of reals is Lebesgue measurable Israel Journal of Mathematics 70 3 381 394 ISSN 0021 2172 doi 10 1007 BF02801471 Solovay Robert M 1970 A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue measurable Annals of Mathematics Second Series 92 1 56 ISSN 0003 486X JSTOR 1970696 MR 0265151 Specker Ernst 1957 Zur Axiomatik der Mengenlehre Fundierungs und Auswahlaxiom Zeitschrift fur Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 3 173 210 ISSN 0044 3050 MR 0099297 doi 10 1002 malq 19570031302 Stern Jacques 1985 Le probleme de la mesure Asterisque 121 325 346 ISSN 0303 1179 MR 768968 Datos Q7558851Obtenido de https es wikipedia org w index php title Modelo de Solovay amp oldid 120221367, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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