Mecanismo de Chebyshov

El Mecanismo de Chebyshov es una conexión mecánica que convierte un movimiento de rotación en un movimiento prácticamente rectilíneo.

Esquema animado del mecanismo de Chebyshov

Fue ideado por el matemático ruso del siglo XIX Pafnuty Chebyshov mientras estudiaba problemas teóricos en mecanismos cinemáticos.^[1]​Uno de estos problemas era la construcción de una conexión mecánica para convertir un movimiento rotativo en un movimiento aproximadamente rectilíneo. Este problema también había sido estudiado por James Watt en sus mejoras al motor de vapor.^[2]​

El mecanismo confina el punto P —punto medio de la barra L₃— en una línea recta entre los dos extremos y el centro de su desplazamiento. Entre estos puntos, el punto P se desvía ligeramente de una línea recta perfecta. Las proporciones entre las barras articuladas son las siguientes (la configuración de las longitudes L₁, L₂, L₃, y L₄ se muestra en la ilustración):

${\displaystyle L_{1}:L_{2}:L_{3}=2:2.5:1=4:5:2\,}$

Como ya se ha indicado, el punto P está en el centro de la barra L₃. Esta configuración asegura que la barra L₃ se sitúe verticalmente cuando está en uno de los extremos de su recorrido.^[3]​

Las longitudes están relacionadas matemáticamente como sigue:

${\displaystyle L_{4}=L_{3}+{\sqrt {L_{2}^{2}-L_{1}^{2}}}\,}$

Se concluye que si se toman las proporciones de base especificadas, entonces para todos los casos,

${\displaystyle L_{4}=L_{2}\,}$

contribuyendo este hecho al movimiento rectilíneo percibido del punto P.

Ecuaciones del movimiento

El movimiento del mecanismo se puede deducir en función de un ángulo de entrada determinado, ligado a su vez a una ley en función de las velocidades o fuerzas consideradas. El ángulo de entrada puede ser de la barra L₂ o de la barra L₄ con la horizontal. A partir del ángulo de entrada, es posible determinar la posición de los puntos extremos de la barra L₃ (denominados A y B) y del punto medio P:

${\displaystyle x_{A}=L_{2}\cos(\varphi _{1})\,}$ 

${\displaystyle y_{A}=L_{2}\sin(\varphi _{1})\,}$ 

La posición del punto B se calcula con el otro ángulo:

${\displaystyle x_{B}=L_{1}-L_{4}\cos(\varphi _{2})\,}$ 

${\displaystyle y_{B}=L_{4}\sin(\varphi _{2})\,}$ 

Finalmente, se especifica el segundo ángulo en función del primero:

${\displaystyle \varphi _{2}=\arcsin \left[{\frac {L_{2}\,\sin(\varphi _{1})}{\overline {AO_{2}}}}\right]-\arccos \left({\frac {L_{4}^{2}+{\overline {AO_{2}}}^{2}-L_{3}^{2}}{2\,L_{4}\,{\overline {AO_{2}}}}}\right)\,}$ 

En consecuencia, es posible determinar la posición del punto P, utilizando las coordenadas de los dos puntos extremos A y B; y la definición del punto medio:

${\displaystyle x_{P}={\frac {x_{A}+x_{B}}{2}}\,}$ 

${\displaystyle y_{P}={\frac {y_{A}+y_{B}}{2}}\,}$ 

Ángulos de entrada

 

Ángulos límite del movimiento referidos a la barra L₂

Los límites de los ángulos de entrada, en ambos casos, son:

${\displaystyle \varphi _{\text{min}}=\arccos \left({\frac {4}{5}}\right)\approx 36.8699^{\circ }.\,}$ 

${\displaystyle \varphi _{\text{max}}=\arccos \left({\frac {-1}{5}}\right)\approx 101.537^{\circ }.\,}$ 

Véase también

• Mecanismo de movimiento rectilíneo
• Mecanismo de cuatro barras
• Mecanismo Lambda de Chebyshov
• Mecanismo de Watt, un mecanismo de movimiento rectilíneo similar con la dirección de uno de los brazos invertida.
• Mecanismo de Scott Russell
• Mecanismo de Hoecken (conexión de 4 barras que convierte un movimiento de rotación para aproximarlo a un movimiento rectilíneo)
• Mecanismo de Peaucellier-Lipkin (Conexión de 8 barras que da un movimiento lineal perfecto)

Referencias

1. «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов» [Teoría de los mecanismos conocidos como paralelogramos, St. Petersburg 1854.
2. Cornell university - Cross link straight-line mechanism
3. - Rotation to approximate translation using the Chebyshev Linkage

Enlaces externos

•   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Mecanismo de Chebyshov.
• Universidad de Cornell, "Cómo dibujar una línea recta, por A.B. Kempe, B.A."[1][2]
• Una simulación que utiliza el software del Molecular Workbench.
• Geogebra una simulación del mecanismo.

•   Datos: Q2962940
•   Multimedia: Chebyshev linkage