La base del método consiste en construir una sucesiónconvergente definida iterativamente. El límite de esta sucesión es precisamente la solución del sistema. A efectos prácticos si el algoritmo se detiene después de un número finito de pasos se llega a una aproximación al valor de x de la solución del sistema.
La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema en la forma siguiente:
donde , es una matriz diagonal y , es la suma de una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior , luego . Partiendo de , podemos reescribir dicha ecuación como:
Luego,
Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método de Jacobi puede ser expresado de la forma:
donde es el contador de iteración, Finalmente tenemos:
Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se necesitan todos los elementos en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en el método Gauss-Seidel, no se puede sobreescribir xi(k) con xi(k+1), ya que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínima de almacenamiento es de dos vectores de dimensión n, y será necesario realizar un copiado explícito.
Convergencia
El método de Jacobi siempre converge si la matriz A es estrictamente diagonal dominante y puede converger incluso si esta condición no se satisface.
Para verificar la convergencia del método se calcula el radio espectral (ρ):
es la condición necesaria y suficiente para la convergencia, siendo R = L + U . No es necesario que los elementos de la diagonal en la matriz sean mayores (en magnitud) que los otros elementos (la matriz es diagonalmente dominante), pero en el caso de serlo, la matriz converge.
Algoritmo
El método de Jacobi se puede escribir en forma de algoritmo de la siguiente manera:
Algoritmo Método de Jacobi
función Jacobi (, )
// es una aproximación inicial a la solución//
parahasta convergencia hacer
parahastahacer
parahastahacer
sientonces
fin para
fin para
comprobar si se alcanza convergencia
fin para
Ejemplo
Un sistema lineal de la forma con una estimación inicial está dado por
Usamos la ecuación , descrita anteriormente, para estimar . Primero, reescribimos la ecuación de una manera más conveniente , donde y . vea que donde y son las partes inferior y superior de . de los valores conocidos.
determinamos como
C es encontrada como
con T y C calculadas, estimaremos como :
siguientes iteraciones.
este proceso se repetirá hasta que converja (i.e., hasta que sea pequeño). la solución después de 25 iteraciones es:
método, jacobi, análisis, numérico, método, jacobi, método, iterativo, usado, para, resolver, sistemas, ecuaciones, lineales, tipo, displaystyle, mathbf, mathbf, algoritmo, toma, nombre, matemático, alemán, carl, gustav, jakob, jacobi, método, jacobi, consiste. En analisis numerico el metodo de Jacobi es un metodo iterativo usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo A x b displaystyle A mathbf x mathbf b El algoritmo toma su nombre del matematico aleman Carl Gustav Jakob Jacobi El metodo de Jacobi consiste en usar formulas como iteracion de punto fijo Indice 1 Descripcion 2 Convergencia 3 Algoritmo 4 Ejemplo 5 Vease tambien 6 Enlaces externosDescripcion EditarLa base del metodo consiste en construir una sucesion convergente definida iterativamente El limite de esta sucesion es precisamente la solucion del sistema A efectos practicos si el algoritmo se detiene despues de un numero finito de pasos se llega a una aproximacion al valor de x de la solucion del sistema La sucesion se construye descomponiendo la matriz del sistema A displaystyle mathit A en la forma siguiente A D R displaystyle mathit A mathit D mathit R donde D displaystyle mathit D es una matriz diagonal y R displaystyle mathit R es la suma de una matriz triangular inferior L displaystyle mathit L y una matriz triangular superior U displaystyle mathit U luego R L U displaystyle mathit R mathit L mathit U Partiendo de A x b displaystyle A mathbf x mathbf b podemos reescribir dicha ecuacion como D x R x b displaystyle mathit D mathbf x mathit R mathbf x mathbf b Luego x D 1 b R x displaystyle mathbf x mathit D 1 left mathbf b mathit R mathbf x right Si aii 0 para cada i Por la regla iterativa la definicion del Metodo de Jacobi puede ser expresado de la forma x k 1 D 1 b R x k displaystyle mathbf x left k 1 right mathit D 1 left mathbf b mathit R mathbf x k right donde k displaystyle k es el contador de iteracion Finalmente tenemos x i k 1 1 a i i b i j i a i j x j k i 1 2 3 displaystyle x i left k 1 right frac 1 a ii left b i sum limits j neq i a ij x j left k right right i 1 2 3 Cabe destacar que al calcular xi k 1 se necesitan todos los elementos en x k excepto el que tenga el mismo i Por eso al contrario que en el metodo Gauss Seidel no se puede sobreescribir xi k con xi k 1 ya que su valor sera necesario para el resto de los calculos Esta es la diferencia mas significativa entre los metodos de Jacobi y Gauss Seidel La cantidad minima de almacenamiento es de dos vectores de dimension n y sera necesario realizar un copiado explicito Convergencia EditarEl metodo de Jacobi siempre converge si la matriz A es estrictamente diagonal dominante y puede converger incluso si esta condicion no se satisface Para verificar la convergencia del metodo se calcula el radio espectral r r D 1 R lt 1 displaystyle rho D 1 R lt 1 es la condicion necesaria y suficiente para la convergencia siendo R L U No es necesario que los elementos de la diagonal en la matriz sean mayores en magnitud que los otros elementos la matriz es diagonalmente dominante pero en el caso de serlo la matriz converge Algoritmo EditarEl metodo de Jacobi se puede escribir en forma de algoritmo de la siguiente manera Algoritmo Metodo de Jacobifuncion Jacobi A displaystyle A x 0 displaystyle x 0 x 0 displaystyle x 0 es una aproximacion inicial a la solucion para k 1 displaystyle k gets 1 hasta convergencia hacerpara i 1 displaystyle i gets 1 hasta n displaystyle n hacers 0 displaystyle sigma gets 0 para j 1 displaystyle j gets 1 hasta n displaystyle n hacersi j i displaystyle j neq i entoncess s a i j x j k 1 displaystyle sigma sigma a ij x j k 1 dd dd fin para x i k b i s a i i displaystyle x i k left b i sigma right over a ii dd fin para comprobar si se alcanza convergencia dd fin paraEjemplo EditarUn sistema lineal de la forma A x b displaystyle Ax b con una estimacion inicialx 0 displaystyle x 0 esta dado por A 2 1 5 7 b 11 13 y x 0 1 1 displaystyle A begin bmatrix 2 amp 1 5 amp 7 end bmatrix b begin bmatrix 11 13 end bmatrix quad text y quad x 0 begin bmatrix 1 1 end bmatrix Usamos la ecuacion x k 1 D 1 b R x k displaystyle x k 1 D 1 b Rx k descrita anteriormente para estimar x displaystyle x Primero reescribimos la ecuacion de una manera mas conveniente D 1 b R x k T x k C displaystyle D 1 b Rx k Tx k C donde T D 1 R displaystyle T D 1 R y C D 1 b displaystyle C D 1 b vea que R L U displaystyle R L U donde L displaystyle L y U displaystyle U son las partes inferior y superior de A displaystyle A de los valores conocidos D 1 1 2 0 0 1 7 L 0 0 5 0 y U 0 1 0 0 displaystyle D 1 begin bmatrix 1 2 amp 0 0 amp 1 7 end bmatrix L begin bmatrix 0 amp 0 5 amp 0 end bmatrix quad text y quad U begin bmatrix 0 amp 1 0 amp 0 end bmatrix determinamos T D 1 L U displaystyle T D 1 L U como T 1 2 0 0 1 7 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 5 0 714 0 displaystyle T begin bmatrix 1 2 amp 0 0 amp 1 7 end bmatrix left begin bmatrix 0 amp 0 5 amp 0 end bmatrix begin bmatrix 0 amp 1 0 amp 0 end bmatrix right begin bmatrix 0 amp 0 5 0 714 amp 0 end bmatrix C es encontrada como C 1 2 0 0 1 7 11 13 5 5 1 857 displaystyle C begin bmatrix 1 2 amp 0 0 amp 1 7 end bmatrix begin bmatrix 11 13 end bmatrix begin bmatrix 5 5 1 857 end bmatrix con T y C calculadas estimaremos x displaystyle x como x 1 T x 0 C displaystyle x 1 Tx 0 C x 1 0 0 5 0 714 0 1 1 5 5 1 857 5 0 1 143 displaystyle x 1 begin bmatrix 0 amp 0 5 0 714 amp 0 end bmatrix begin bmatrix 1 1 end bmatrix begin bmatrix 5 5 1 857 end bmatrix begin bmatrix 5 0 1 143 end bmatrix siguientes iteraciones x 2 0 0 5 0 714 0 5 0 1 143 5 5 1 857 4 929 1 713 displaystyle x 2 begin bmatrix 0 amp 0 5 0 714 amp 0 end bmatrix begin bmatrix 5 0 1 143 end bmatrix begin bmatrix 5 5 1 857 end bmatrix begin bmatrix 4 929 1 713 end bmatrix este proceso se repetira hasta que converja i e hasta que A x n b displaystyle Ax n b sea pequeno la solucion despues de 25 iteraciones es x 7 111 3 222 displaystyle x begin bmatrix 7 111 3 222 end bmatrix Vease tambien EditarMetodo de Gauss SeidelEnlaces externos EditarAcceleration of the Jacobi iterative method Jacobi Method from www math linux com Weisstein Eric W Jacobi Method En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Module for Jacobi and Gauss Seidel Iteration Numerical matrix inversion Datos Q1481893Obtenido de https es wikipedia org w index php title Metodo de Jacobi amp oldid 128145246, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,