Longitud de Debye

En Física de plasmas la longitud de Debye, también llamada radio de Debye es la escala a través de la cual portadores de carga móviles —por ejemplo, electrones— generan un apantallamiento de los campos eléctricos en los plasmas y otros conductores. En otras palabras, la longitud de Debye es la distancia sobre la cual puede ocurrir una separación significativa de carga. Análogamente, una esfera de Debye es el volumen cuyo radio es una longitud de Debye, dentro de la cual existe una esfera de influencia, y fuera de la cual las cargas son «apantalladas». La longitud de Debye recibe su nombre en honor del físico y físico-químico holandés Peter Debye. La noción de la longitud de Debye juega un importante papel en la Física de plasmas, electrolitos y coloides (teoría DLVO).

Origen físico

La longitud de Debye surge de forma natural en la descripción termodinámica de grandes sistemas que contienen cargas en movimiento. En un sistema de ${\displaystyle N}$  diferentes especies de cargas, la ${\displaystyle j}$ -ésima especie porta una carga ${\displaystyle q_{j}}$  y tiene una concentración ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$  en la posición ${\displaystyle \mathbf {r} }$ . De acuerdo con el llamado «modelo primitivo», estas cargas se distribuyen en un medio continuo caracterizado solamente por su permitividad relativa estática: ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ . La distribución de cargas dentro de este medio da lugar a un potencial eléctrico, ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ , que satisface la ecuación de Poisson:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} )}$ ,

siendo ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$  la permitividad eléctrica del vacío.

Las cargas en movimiento no solo establecen ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ , sino que también se mueven respondiendo a la fuerza de Coulomb asociada: ${\displaystyle \mathbf {F} =-q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )}$ . Si además suponemos que el sistema se encuentra en equilibrio termodinámico con un foco calórico a temperatura absoluta ${\displaystyle T}$ , entonces las concentraciones de carga discreta, ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ , pueden considerarse ensambles termodinámicos promedio y el potencial eléctrico asociado puede considerarse un campo medio. Con estas suposiciones, la concentración de la ${\displaystyle j}$ -ésima especie de carga está descrita por la distribución de Boltzmann.

${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}\right)}$ ,

donde ${\displaystyle k_{B}}$  es la constante de Boltzmann y ${\displaystyle n_{j}^{0}}$  es la concentración media de cargas de especies ${\displaystyle j}$ . Al identificar las concentraciones instantáneas y el potencial instantáneo en la ecuación de Poisson con sus contrapartes de campo medio en la distribución de Boltzmann, se obtiene la ecuación de Poisson-Boltzmann:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}\right)}$ .

Se conocen soluciones para esta ecuación no lineal para algunos sistemas simples. Para sistemas más generales, se pueden obtener soluciones en el límite de alta temperatura (acoplamiento débil), ${\displaystyle q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll k_{B}T}$ , por medio de una expansión en serie de Taylor de la función exponencial:

${\displaystyle \exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}}$ .

Esta aproximación da como resultado la ecuación linearizada de Poisson-Boltzmann:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\,k_{B}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j},}$ 

la cual se conoce como ecuación de Debye-Hückel.^[1]​ ^[2]​ ^[3]​ ^[4]​ ^[5]​ El segundo término del lado derecho de la ecuación desaparece en sistemas que son eléctricamente neutros. El término entre paréntesis de longitud inversa al cuadrado y conduce de manera natural a la definición de escala de longitud característica:

${\displaystyle \lambda _{D}=\left({\frac {\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\,k_{B}T}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2}}$ 

que es llamada comúnmente «longitud de Debye-Hückel». La longitud ${\displaystyle \lambda _{D}}$  establece la escala de variaciones en el potencial y en las concentraciones de especies cargadas. Se debe hacer énfasis en que todas las especies cargadas contribuyen de igual manera a la longitud de Debye-Hückel, sin importar el signo de sus cargas.

Valores típicos

En los plasmas en el espacio, donde la densidad de electrones es relativamente baja, la longitud de Debye puede alcanzar valores macroscópicos, como en la magnetosfera, el viento solar o el medio intergaláctico (véase la tabla):^[6]​

Plasma	Densidad ne(m^-3)	Temperatura de electrones T(K)	Campo magnético B(T)	Longitud de Debye λD(m)
Núcleo solar	10^32	10^7	--	10^−11
Tokamak	10^20	10^8	10	10^−4
Descarga de gas	10^16	10^4	--	10^−4
Ionosfera	10^12	10^3	10^−5	10^−3
Magnetosfera	10^7	10^7	10^−8	10^2
Viento solar	10^6	10^5	10^−9	10
Medio interestelar	10^5	10^4	10^−10	10
Medio intergaláctico	1	10^6	--	10^5

Hannes Alfvén asegura que: «En un plasma de baja densidad regiones localizadas de carga pueden generar grandes caídas de potencial a distancias del orden de varias decenas de longitudes de Debye. Estas regiones son llamadas “capas eléctricas dobles”. Una doble capa eléctrica es la distribución espacial de carga más simple que da una caída de potencial en la capa y un campo eléctrico que desaparece al otro lado de la capa. En el laboratorio las dobles capas se han estudiado por medio siglo, pero su importancia en plasmas cósmicos no ha sido reconocida de forma general».

Longitud de Debye en un plasma

En un plasma, el medio que se encuentra en el fondo puede ser tratado como vacío (${\displaystyle \varepsilon _{r}=1}$ ), y la longitud de Debye es

${\displaystyle \lambda _{D}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{B}/q_{e}^{2}}{n_{e}/T_{e}+\displaystyle \sum _{ij}j^{2}n_{ij}/T_{i}}}}}$ 

donde

λ_D es la longitud de Debye,

ε₀ es la permitividad eléctrica del vacío,

k_B es la constante de Boltzmann,

q_e es la carga del electrón,

T_e y T_i son las temperaturas de los electrones y de los iones, respectivamente,

n_e es la densidad de electrones,

n_ij es la densidad de especies atómicas i, con carga iónica positiva jq_e.

El término iónico se elimina generalmente, dando

${\displaystyle \lambda _{D}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{B}T_{e}}{n_{e}q_{e}^{2}}}}}$ ,

aunque esto es válido solamente cuando la movilidad de los iones es despreciable comparada con la escala de tiempo del proceso.^[7]​

Longitud de Debye en un electrolito

En un electrolito o un coloide la longitud de Debye se denota usualmente con el símbolo ${\displaystyle \kappa ^{-1}}$ :^[8]​

${\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}k_{B}T}{2N_{A}e^{2}I}}}}$ 

donde

${\displaystyle I}$  es la fuerza iónica del electrolito,

${\displaystyle \varepsilon _{0}}$  es la permitividad eléctrica del espacio libre,

${\displaystyle \varepsilon _{r}}$  es la constante dieléctrica,

${\displaystyle k_{B}}$  es la constante de Boltzmann,

${\displaystyle T}$  es la temperatura absoluta en kelvin,

${\displaystyle N_{A}}$  es el número de Avogadro y

${\displaystyle e}$  es la carga del electrón.

Para un electrolito simétrico monovalente:

${\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}RT}{2F^{2}C_{0}}}}}$ 

donde

R es la constante universal de los gases,

F es la constante de Faraday,

C₀ es la concentración molar del electrolito.

De forma alternativa:

${\displaystyle \kappa ^{-1}={\frac {1}{\sqrt {8\pi \lambda _{B}N_{A}I}}}}$ 

donde

${\displaystyle \lambda _{B}}$  es la longitud de Bjerrum del medio.

Para agua a temperatura ambiente ${\displaystyle \lambda _{B}\approx }$  0,7 nm. A esta temperatura se puede considerar en el agua la siguiente relación:^[9]​

${\displaystyle \kappa ^{-1}(\mathrm {nm} )={\frac {0,304}{\sqrt {I(\mathrm {M} )}}}}$ 

donde

κ⁻¹ se expresa en nanometros (nm),

I es la fuerza iónica expresada en molar (M o mol/L).

Longitud de Debye en silicio

La longitud de Debye se ha vuelto cada vez más importante en el modelado de dispositivos de estado sólido conforme los avances en tecnologías litográficas han permitido geometrías más pequeñas.^[10]​^[11]​^[12]​

La longitud de Debye en el silicio está dada por:

${\displaystyle {\mathit {L}}_{D}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\mathrm {Si} }k_{B}T}{q^{2}N_{d}}}}}$ 

donde

ε_Si es la constante dieléctrica del silicio,

k_B es la constante de Boltzmann,

T es la temperatura absoluta en kelvin,

q es la carga elemental y

N_d es la densidad de donantes en el sustrato.

cuando el perfil de impurezas excede la longitud de Debye, la mayoría de los portadores no se comportan ya de acuerdo a la distribución de las impurezas. En vez de ello, una medida del perfil de los gradientes de impurezas da un perfil «efectivo» que se ajusta mejor al perfil de la densidad de los portadores.

Referencias

Notas

1. Kirby BJ. Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices. 
2. Li D (2004). Electrokinetics in Microfluidics. 
3. PC Clemmow & JP Dougherty (1969). Addison-Wesley ${\displaystyle \lambda _{D}}$ , ed. Electrodynamics of particles and plasmas. Redwood City CA. pp. §7.6.7, p. 236 ff. ISBN 0201479869. 
4. RA Robinson &RH Stokes (2002). Dover Publications, ed. Electrolyte solutions. Mineola NY. p. 76. ISBN 0486422259. 
5. Véase DC Brydges & Ph A Martin Coulomb Systems at Low Density: A Review
6. Blandford, Roger D. y Thorne, Kip S. (2004). Aplications of Classical Physics, capítulo 19: The Particle Kinetics of Plasma el 25 de junio de 2010 en Wayback Machine. (en inglés).
7. I. H. Hutchchinson, Principles of plasma diagnostics. ISBN 0-521-38583-0
8. Russel, W.B., Saville, D.A. and Schowalter, W.R. Colloidal Dispersions, Cambridge University Press, 1989
9. Israelachvili, J., Intermolecular and Surface Forces, Academic Press Inc., 1985, ISBN 0-12-375181-0
10. Stern, Eric; Robin Wagner, Fred J. Sigworth, Ronald Breaker, Tarek M. Fahmy, Mark A. Reed (1 de noviembre de 2007). «Importance of the Debye Screening Length on Nanowire Field Effect Transistor Sensors». Nano Letters 7 (11): 3405–3409. doi:10.1021/nl071792z. Consultado el 25 de octubre de 2010.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautores= (ayuda)
11. Guo, Lingjie; Effendi Leobandung, Stephen Y. Chou (1997). «A room-temperature silicon single-electron metal–oxide–semiconductor memory with nanoscale floating-gate and ultranarrow channel». Applied Physics Letters 70 (7): 850. ISSN 0003-6951. doi:10.1063/1.118236. Consultado el 25 de octubre de 2010.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautor= (ayuda)
12. Tiwari, Sandip; Farhan Rana, Kevin Chan, Leathen Shi, Hussein Hanafi (1996). «Single charge and confinement effects in nano-crystal memories». Applied Physics Letters 69 (9): 1232. ISSN 0003-6951. doi:10.1063/1.117421. Consultado el 25 de octubre de 2010.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautor= (ayuda)

Lectura adicional

• Goldston & Rutherford (1997). Institute of Physics Publishing, Philadelphia, ed. Introduction to Plasma Physics. 

• Lyklema (1993). Academic Press, NY, ed. Fundamentals of Interface and Colloid Science. 

Enlaces externos

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Debye length» de la Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.

•   Datos: Q898268