Ley del péndulo

Para otros usos de este término, véase Péndulo (desambiguación).

Consideremos un péndulo cuyo brazo mide l, en el campo gravitacional de intensidad g (usualmente: 9,81 m.s^-2), y sujeto a pequeñas oscilaciones.
El período T de oscilación del péndulo es dado por la fórmula:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$

Prueba

Sea θ el ángulo en radianes que hace el brazo con la vertical y m la masa del péndulo, al extremo de su brazo, que se mueve con la velocidad : v = l·θ'.

 

La energía cinética del péndulo es:

(1)${\displaystyle E_{c}={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {ml^{2}\theta ^{\prime 2}}{2}}}$ 

Se puede tomar su energía potencial igual a:

(2)${\displaystyle E_{p}=-mgl\cos(\theta )}$ 

Este sistema no pierde energía, por la suma de energía cinética y potencia es constante (3)

(3)${\displaystyle E_{c}+E_{p}}$ 

Al derivar (3) se obtiene:

(4)${\displaystyle ml^{2}\theta ^{\prime }\theta ^{\prime \prime }+mgl\theta ^{\prime }\sin(\theta )=0}$ 

Se puede simplificar (4) por m·l (no nulos) y por θ' (no idénticamente nulo), lo que da:

(5)${\displaystyle l\theta ^{\prime \prime }+g\sin(\theta )=0}$ 

Como se supone que θ es siempre pequeño, se puede reemplazar sen θ por θ cometiendo un error del orden de θ³ (porque sin θ = θ + O(θ³)).

Entonces (5) equivale a:

(6)${\displaystyle l\theta ^{\prime \prime }+g\theta =0}$  o sea ${\displaystyle \theta ^{\prime \prime }=-\left(g/l\right)\theta }$ 

Un movimiento oscilatorio sigue la ley

${\displaystyle \theta =\theta _{M}\sin(\omega t+\phi )}$ 

lo que implica que

(7)${\displaystyle \theta ^{\prime \prime }=\omega ^{2}\theta }$ 

donde ${\displaystyle \omega }$ es la velocidad angular de la ley y ${\displaystyle \theta _{M}}$  el ángulo máximo.

Identificando (6) y (7) se obtiene ${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {g}{l}}}$ , es decir ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}}$ .

Concluimos recordando que ${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}}$ .

•   Datos: Q5974404