Lema de Fatou

En matemáticas, específicamente en teoría de la medida, el lema de Fatou (llamado así en honor al matemático francés Pierre Fatou), que es una consecuencia del Teorema de convergencia monótona, establece una desigualdad que relaciona la integral (en el sentido de Lebesgue) del límite inferior de una sucesión de funciones para el límite inferior de las integrales de las mismas. Es muy importante ya que nos permite manejar las sucesiones de funciones que no son monótonas y es usado en las demostraciones del teorema Fatou-Lebesgue y del teorema de convergencia dominada de Lebesgue.

Enunciado

Si ${\displaystyle (f_{n})}$  es una sucesión de funciones integrables no negativas para las cuales

${\displaystyle \liminf \int f_{n}d\mu <\infty ,}$ 

entonces la función ${\displaystyle f}$ , definida por

${\displaystyle f(x)=\liminf f_{n}(x),}$ 

es integrable y

${\displaystyle \int fd\mu \leq \liminf \int f_{n}d\mu .}$ 

Demostración

Sea ${\displaystyle g_{m}=\inf\{f_{m},f_{m+1},f_{m+2},\cdots \}}$  entonces ${\displaystyle g_{m}\leq f_{n}}$  si ${\displaystyle m\leq n}$ . Así

${\displaystyle \int g_{m}d\mu \leq \int f_{n}d\mu ,\quad {\text{si}}\;m\leq n}$ 

entonces ${\displaystyle \int g_{m}d\mu \leq \liminf \int f_{n}d\mu }$ . Como ${\displaystyle (g_{m})}$  es creciente y ${\displaystyle g_{m}\longrightarrow \liminf f_{n}}$ , entonces, aplicando el teorema de convergencia monótona ${\displaystyle \int \liminf f_{n}d\mu =\int \liminf g_{m}d\mu =\lim \int g_{m}d\mu \leq \liminf \int f_{n}d\mu }$ 

Corolario

Sea ${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {R} \,}$  una sucesión de funciones medibles no negativas que converge casi-todas-partes a una función ${\displaystyle f\,}$ , tal que:

${\displaystyle \int _{E}f_{n}\leq K\,}$ 

entonces,

${\displaystyle \int _{E}f\leq K\,}$ 

Referencias

• Halmos, Richard R. (1950). Measure Theory (1 edición). 

• Royden, Halsey L. (2010). Real Analysis (4 edición). 

•   Datos: Q1068118