Límite superior y límite inferior

En matemática se define límite superior y límite inferior de una sucesión (x_n) como el mayor y menor límite convergente de las subsecuencias de (x_n). Análogamente a este, el límite superior y límite inferior para funciones reales se define de la misma manera. El límite superior y el límite inferior son un sustituto parcial para el límite, si es que este no existe. Por definición no se puede superar al límite superior.

Una ilustración representando el límite superior y el límite inferior en un sistema de coordenadas cartesianas. La sucesión x_n está denotada en una línea a puntos azul. Las dos curvas rojas se aproximan al límite superior y límite inferior de x_n, cuyo caso se muestran como líneas a trazos rojas, continuas a la derecha. El límite superior es el más grande de los dos, y el límite inferior el más pequeño de los dos. Los límites superior e inferior solo coinciden cuando la secuencia es convergente (i.e., cuando el límite es común).

Definición formal

Formalmente el límite inferior de una sucesión ${\displaystyle (x_{n})}$  se define como

${\displaystyle \sup _{n\geq 0}\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\inf\{x_{k}:k\geq n\}:n\geq 0\}}$ 

o también como

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\inf _{k\geq n}x_{k}\right)}$ 

y se denota como ${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$  o como ${\displaystyle \varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$ . Análogamente se define ${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup _{k\geq n}x_{k}\right)}$ .

Estas definiciones son útiles en un conjunto parcialmente ordenado en un sentido cuantitativo, y proporcionan que el supremo y el ínfimo existan. En una red reticular completa siempre existen estos valores, por lo que en este caso, cada secuencia tiene un límite inferior y límite superior asociado.

Si existe el límite inferior y el límite superior de una sucesión ${\displaystyle (x_{n})}$ , se cumple que ${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}\;.}$ 

Además se verifica que si el límite de la sucesión existe, este es igual tanto al límite inferior como al superior.

Bibliografía

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Editorial De Gruyter, Berlín 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Edición normal), ISBN 3-11-013625-6 (edición de bolsillo), p. 93 (en Sucesiones de conjuntos).

•   Datos: Q1076611
•   Multimedia: Limit superior and limit inferior