Jackknife (estadística)

En estadística, el método Jackknife es una técnica especialmente útil para corregir el sesgo de estimación. El Jackknife es anterior a otros métodos de remuestreo común tales como el Bootstrapping. El estimador Jackknife de un parámetro se encuentra aplicando sistemáticamente el método de estimación al conjunto de datos resultante de eliminar cada una de las observaciones. El estimador de Jacknife será el promedio de dichas estimaciones. Es decir, dada una muestra de tamaño ${\displaystyle n}$, la estimación jackknife se encuentra mediante la agregación de las estimaciones de ${\displaystyle n-1}$ observaciones en la muestra.

La técnica jackknife fue desarrollada por Maurice Quenouille (1949, 1956). John W. Tukey (1958) se expandió en la técnica y propuso el nombre de "Jackknife", ya que, al igual que una navaja de Boy Scout, es una herramienta "áspera y lista" que puede resolver una variedad de problemas a pesar de que los problemas específicos pueden ser más eficientemente resueltos con una herramienta diseñada para tal fin.^[1]​

Jackknife es una aproximación lineal del Bootstrapping.^[1]​

Estimación

La estimación jackknife de un parámetro se puede encontrar estimando el parámetro para cada submuestra omitiendo la observación i-ésima para estimar el valor previamente desconocido de un parámetro (digamos ${\displaystyle {\bar {x}}_{i}}$ ).^[2]​

${\displaystyle {\bar {x}}_{i}={\frac {1}{n-1}}\sum _{j\neq i}^{n}x_{j}}$ 

Estimación de la varianza

La estimación de la varianza del estimador se puede calcular con la siguiente expresión:

${\displaystyle \operatorname {Var} _{\mathrm {(jackknife)} }={\frac {n-1}{n}}\sum _{i=1}^{n}({\bar {x}}_{i}-{\bar {x}}_{\mathrm {(.)} })^{2}}$ 

dónde ${\displaystyle {\bar {x}}_{i}}$  es la estimación de parámetros basada en dejar fuera la observación i-ésima, y ${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {(.)} }={\frac {1}{n}}\sum _{i}^{n}{\bar {x}}_{i}}$  es el estimador basado en todas las submuestras. ^[3]​^[4]​

Estimación y corrección del Sesgo

La técnica jackknife puede usarse para estimar el sesgo de un estimador calculado sobre toda la muestra. Sea ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$  el estimador calculado del parámetro de interés basado en las ${\displaystyle {n}}$ observaciones y sea:

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {(.)} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\hat {\theta }}_{\mathrm {(i)} }}$ 

donde ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {(i)} }}$ es la estimación de interés basada en la muestra con la i-ésima observación eliminada, y ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {(.)} }}$ es el promedio de las estimaciones con ${\displaystyle {n-1}}$  observaciones.

La estimación jackknife del sesgo de ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ viene dada por:

${\displaystyle {\widehat {\text{Bias}}}_{\mathrm {(\theta )} }=(n-1)({\hat {\theta }}_{\mathrm {(.)} }-{\hat {\theta }})}$ 

Y la estimación de jackknife corregida por sesgo resultante de ${\displaystyle \theta }$ viene dada por:

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\text{Jack}}=n{\hat {\theta }}-(n-1){\hat {\theta }}_{\mathrm {(.)} }}$ 

Esto elimina el sesgo en el caso especial de que el sesgo sea ${\displaystyle O(N^{-1})}$ y para ${\displaystyle O(N^{-2})}$ en otros casos.^[1]​

Este método proporciona una corrección del sesgo debido al método de estimación pero no corrige el sesgo debido a un muestreo inapropiado.

Referencias

1. Cameron y Trivedi, 2005, p. 375.
2. Efron, 1982, p. 2.
3. Efron, 1982, p. 14.
4. McIntosh, Avery I. «The Jackknife Estimation Method». Boston University. Avery I. McIntosh. Consultado el 30 de abril de 2016. 

•   Datos: Q847158